ČO NEVIETE O ČÍSLACH

Od jedna po desať: päť čísel a čo o nich (asi) neviete

Ako vyhrať matematickú stávku a čo Gréci nedokázali? Spoznajte niektoré zaujímavé čísla medzi jednotkou a desiatkou.

1,0606601717 a tak ďalej

O takzvanom probléme či kocke princa Ruperta (po Ruprechtovi Falckom) mnoho ľudí nepočulo. V princípe to je však jednoduchá matematická úloha, ktorej riešenie zase také jednoduché nie je. Otázka zhruba znie: akú najväčšiu kocku dostanete cez inú kocku s jednotkovou dĺžkou strany?

Anekdota hovorí, že Ruprecht sa svojho času v 17. storočí stavil, že dokáže dostať jednu kocku cez takýto vyrezaný tunel v inej kocke (bez toho, aby sa jednotková kocka úplne rozdelila). Matematik John Wallis napokon ukázal, že to nielenže možné je, ale že taká kocka môže byť väčšia ako jednotková. Ruprecht stávku vyhral.

V skutočnosti je však zaujímavé skôr čosi iné: aj keď matematicky sa tento problém vyriešiť dá, v skutočnom svete – keďže rozdiely medzi kockami sú veľmi malé – je veľmi ťažké až nemožné model tejto úlohy zostrojiť. Preto sa o jej riešení občas hovorí, že je „matematicky možné, no prakticky nemožné“.

Napokon sa však ukázalo, že výsledkom úlohy je 3√2/4, teda 1,06066...

3√2

Keď už sme pri tých kockách a štvorcoch. Dávnych gréckych (proto)matematikov zaujímala úloha, ako zväčšiť kocku tak, aby mal výsledný útvar dvojnásobný objem. Presnejšie, ako pri danej veľkosti kocky rýchlo nájsť dĺžku hrany ďalšej kocky, ktorej objem bude dvojnásobný.

Nezabúdajme, že pri antickom prístupe k matematike ste na riešenie takejto úlohy mali len kružidlá, pravítka a možno tak pieskový bazén. Dnes už tušíme, že s takýmito geometrickými nástrojmi nie je možné úlohy vyriešiť.

No výsledok tejto úlohy poznáme a je ním 1,259921049... Teda 3√2.

Prečítajte si tiež: Prečítajte si tiež:Päť čísiel a čo o nich (asi) netušíte: od nuly do jednotky

1,414213562... a teda √2

O odmocnine z dvoch by sa dali napísať romány – a pravdepodobne aj nejaké vznikli. A bola by to kniha o pytagorejcoch, moci čísiel, matematickej mystike, náboženstvu i snahe zatajiť zistenia.

Skrátená verzia je ale zhruba takáto: ak máte jednotkový (odvesny) pravouhlý trojuholník, aká bude dĺžka jeho prepony?

Pytagorova veta totiž hovorí jasne, ak máme 12 + 12 na jednej strane a na druhej bude x2, potom x2 bude 2. A x bude √2.

Nám sa to ľahko píše, no predstavte si antický svet, v ktorom sú čísla cestou k mystériu a poznaniu a všetky sa dajú vyjadriť zlomkami iných celých čísel.

Čísla sú mierou vecí a zrazu sa objaví čosi, čo takéto nie je: ako už niekedy 500 rokov pred našim letopočtom dokázal istý Hippasos. Asi si to zdesenie (zrejme nielen pytagorejcov) predstaviť dokážete – no nám napokon dali celé univerzum iracionálnych čísel.

Historicky sa však hodnota √2 odhadovala. Pytagorejci (azda predtým, ako sa práve kvôli tejto úlohe rozpadli) tipovali výsledok na 7/5, Babylónci na 17/12, neskôr ešte presnejšie.

5

Keďže sme preskočili čísla dva aj tri, zastavme sa pri takom, ktoré ich spája.

Pytagorejci (pri nízkych číslach je o nich reč stále) verili, že päťka je súčtom prvého párneho ženského čísla (2) a prvého nepárneho mužského čísla (3) a predstavuje symbol života či manželstva.

Za mystické alebo posvätné však číslo päť považovali trebárs aj Mayovia, moslimovia a kdejaká iná civilizácia. Napokon, stačí sa pozrieť na ruky a nohy a koľko na každej nájdete prstov? Takže naši pradávni predkovia zrejme rátali v sústavách, ktoré mali s päťkou čosi spoločné.

Vo svete geometrie však platí, že päťka je súčtom dvoch štvorcov, jednotkového a dvojkového. Ako prvočíslo je súčtom všetkých menších prvočísel, ako ono samo.

Mnohé vlastnosti päťky súvisia aj so zlatým rezom – ale o tom si niečo povieme nabudúce.

A mimochodom, euklidovská geometria má päticu axióm.

10

Ak jestvuje čosi, čo pytagorejci považovali za dokonalé, bolo to číslo desať. V prípade antických mysliteľov to preto dospelo až do stavu, že keď poznali iba deväť nebeských javov a desiaty im chýbal, jednoducho si ho vymysleli.

Výsledkom tak bola akási Protizem za Slnkom, ktorú neboli nikdy vidieť, no ktorá krúžila na opačnej strane (keď sa, samozrejme, Slnko otáčalo okolo Zeme).

Oveľa dôležitejšie však je, že desiatka je základom toho, ako dnes počítame. Rátame (väčšinou, na určovanie času to neplatí, rovnako ani pre počítače) v desiatkovej sústave a odborníci sa domnievajú, že prvým impulzom k tomu mohol byť počet prstov na rukách.

Nabudúce sa ešte k číslam medzi jednotkou a desiatkou vrátime. Dôjde aj na tie zvláštne ako e, φ či pí.

Hlavný zdroj: Klán, Peter: Čísla (Academia/Galileo 2014)

Najčítanejšie na SME Tech


Inzercia - Tlačové správy


  1. Tatra banka spustila najmodernejší internet banking pre firmy
  2. Volkswagen T-Roc: Pre nerozhodných
  3. Iba dnes: Narodeninové predplatné SME.sk za 25 eur
  4. Leto 2018 v Grécku s odletom z Bratislavy
  5. Dlhopisy 7,25 % p.a. majú najvýhodnejšiu nákupnú cenu v roku
  6. Zelené Grunty vám ponúknu viac, ako očakávate
  7. Kam do tepla v januári?
  8. First moment Turecko: využite zľavy na špičkové hotely
  9. Konzultácia so svetovými odborníkmi dokáže zachrániť život
  10. Divoký Island: cesta ostrovom ľadu a ohňa
  1. Začiatok roka patrí dani z nehnuteľností
  2. Volkswagen T-Roc: Pre nerozhodných
  3. Tipy pre atraktívne poprsie po dojčení. Plastike povedzte nie
  4. Stanovisko spoločnosti Advokátska kancelária JUDr. Radomír Bžán
  5. Tatra banka spustila najmodernejší internet banking pre firmy
  6. Iba dnes: Narodeninové predplatné SME.sk za 25 eur
  7. Denník SME oslavuje 25 rokov rekordným počtom predplatiteľov
  8. Najinzerovanejšie zánovné auto roku 2017? Mnohých to prekvapí
  9. Stavebná fakulta STU pozýva na Deň otvorených dverí!
  10. Leto 2018 v Grécku s odletom z Bratislavy
  1. Iba dnes: Narodeninové predplatné SME.sk za 25 eur 16 100
  2. Leto 2018 v Grécku s odletom z Bratislavy 8 915
  3. Tatra banka spustila najmodernejší internet banking pre firmy 4 433
  4. Demänovku mieša iba jeden človek. Ako si strážia receptúru? 2 954
  5. Volkswagen T-Roc: Pre nerozhodných 2 371
  6. Kam do tepla v januári? 2 325
  7. Dlhopisy 7,25 % p.a. majú najvýhodnejšiu nákupnú cenu v roku 2 320
  8. First moment Turecko: využite zľavy na špičkové hotely 2 055
  9. Divoký Island: cesta ostrovom ľadu a ohňa 1 219
  10. Zelené Grunty vám ponúknu viac, ako očakávate 1 203

Téma: Čo neviete o číslach


Hlavné správy zo Sme.sk

EKONOMIKA

Zdanenie bitcoinu, menej výhodné sporenie. Čo chystá Kažimír

Zdania obchody, keď spotrebiteľ platí za tovar kryptomenami a stavebné sporenie bude ešte menej výhodné.

SVET

Vražda v Kosove ako rozbuška, Srbsko môže stratiť viac

Zabitie politika zo srbskej menšiny môže oddialiť zbližovanie Srbska s Úniou.

SVET

Babiš nedostal dôveru, vládnuť môže roky. Čo čaká Česko?

Český premiér vedel, že hlasovanie o dôvere prehrá.

ŠPORT

Mal smolu i spor s Vůjtkom. Pôjde Nagy na olympiádu?

V mužstve majú byť hráči, ktorí vedia ubrániť oslabenia.

Neprehliadnite tiež

Ryba si vie vďaka génom zahojiť chrbticu. Aj ľudia ich majú

Ľudia a ryby z radu mihuľotvarých mali pred miliónmi rokov spoločného predka.

Čierna diera si dvakrát grgla. Potvrdili, že čierne diery oddychujú

Vzdialená galaxia pomaly požiera svojho vesmírneho suseda.

Vypočujte si pieseň z Hviezdnych vojen zahranú ceruzkou

Matematická rovnica znie ako chytľavá pieseň zo Star Wars.

Tajomstvo kreativity: Čo hovorí veda

Poučenie, ktoré so sebou prináša veda napovedá aj to, ako dosiahnuť vytúženú budúcnosť.