ČO NEVIETE O ČÍSLACH

Od jedna po desať: päť čísel a čo o nich (asi) neviete

Ako vyhrať matematickú stávku a čo Gréci nedokázali? Spoznajte niektoré zaujímavé čísla medzi jednotkou a desiatkou.

1,0606601717 a tak ďalej

O takzvanom probléme či kocke princa Ruperta (po Ruprechtovi Falckom) mnoho ľudí nepočulo. V princípe to je však jednoduchá matematická úloha, ktorej riešenie zase také jednoduché nie je. Otázka zhruba znie: akú najväčšiu kocku dostanete cez inú kocku s jednotkovou dĺžkou strany?

Anekdota hovorí, že Ruprecht sa svojho času v 17. storočí stavil, že dokáže dostať jednu kocku cez takýto vyrezaný tunel v inej kocke (bez toho, aby sa jednotková kocka úplne rozdelila). Matematik John Wallis napokon ukázal, že to nielenže možné je, ale že taká kocka môže byť väčšia ako jednotková. Ruprecht stávku vyhral.

V skutočnosti je však zaujímavé skôr čosi iné: aj keď matematicky sa tento problém vyriešiť dá, v skutočnom svete – keďže rozdiely medzi kockami sú veľmi malé – je veľmi ťažké až nemožné model tejto úlohy zostrojiť. Preto sa o jej riešení občas hovorí, že je „matematicky možné, no prakticky nemožné“.

Napokon sa však ukázalo, že výsledkom úlohy je 3√2/4, teda 1,06066...

3√2

Keď už sme pri tých kockách a štvorcoch. Dávnych gréckych (proto)matematikov zaujímala úloha, ako zväčšiť kocku tak, aby mal výsledný útvar dvojnásobný objem. Presnejšie, ako pri danej veľkosti kocky rýchlo nájsť dĺžku hrany ďalšej kocky, ktorej objem bude dvojnásobný.

Nezabúdajme, že pri antickom prístupe k matematike ste na riešenie takejto úlohy mali len kružidlá, pravítka a možno tak pieskový bazén. Dnes už tušíme, že s takýmito geometrickými nástrojmi nie je možné úlohy vyriešiť.

No výsledok tejto úlohy poznáme a je ním 1,259921049... Teda 3√2.

Prečítajte si tiež: Prečítajte si tiež:Päť čísiel a čo o nich (asi) netušíte: od nuly do jednotky

1,414213562... a teda √2

O odmocnine z dvoch by sa dali napísať romány – a pravdepodobne aj nejaké vznikli. A bola by to kniha o pytagorejcoch, moci čísiel, matematickej mystike, náboženstvu i snahe zatajiť zistenia.

Skrátená verzia je ale zhruba takáto: ak máte jednotkový (odvesny) pravouhlý trojuholník, aká bude dĺžka jeho prepony?

Pytagorova veta totiž hovorí jasne, ak máme 12 + 12 na jednej strane a na druhej bude x2, potom x2 bude 2. A x bude √2.

Nám sa to ľahko píše, no predstavte si antický svet, v ktorom sú čísla cestou k mystériu a poznaniu a všetky sa dajú vyjadriť zlomkami iných celých čísel.

Čísla sú mierou vecí a zrazu sa objaví čosi, čo takéto nie je: ako už niekedy 500 rokov pred našim letopočtom dokázal istý Hippasos. Asi si to zdesenie (zrejme nielen pytagorejcov) predstaviť dokážete – no nám napokon dali celé univerzum iracionálnych čísel.

Historicky sa však hodnota √2 odhadovala. Pytagorejci (azda predtým, ako sa práve kvôli tejto úlohe rozpadli) tipovali výsledok na 7/5, Babylónci na 17/12, neskôr ešte presnejšie.

5

Keďže sme preskočili čísla dva aj tri, zastavme sa pri takom, ktoré ich spája.

Pytagorejci (pri nízkych číslach je o nich reč stále) verili, že päťka je súčtom prvého párneho ženského čísla (2) a prvého nepárneho mužského čísla (3) a predstavuje symbol života či manželstva.

Za mystické alebo posvätné však číslo päť považovali trebárs aj Mayovia, moslimovia a kdejaká iná civilizácia. Napokon, stačí sa pozrieť na ruky a nohy a koľko na každej nájdete prstov? Takže naši pradávni predkovia zrejme rátali v sústavách, ktoré mali s päťkou čosi spoločné.

Vo svete geometrie však platí, že päťka je súčtom dvoch štvorcov, jednotkového a dvojkového. Ako prvočíslo je súčtom všetkých menších prvočísel, ako ono samo.

Mnohé vlastnosti päťky súvisia aj so zlatým rezom – ale o tom si niečo povieme nabudúce.

A mimochodom, euklidovská geometria má päticu axióm.

10

Ak jestvuje čosi, čo pytagorejci považovali za dokonalé, bolo to číslo desať. V prípade antických mysliteľov to preto dospelo až do stavu, že keď poznali iba deväť nebeských javov a desiaty im chýbal, jednoducho si ho vymysleli.

Výsledkom tak bola akási Protizem za Slnkom, ktorú neboli nikdy vidieť, no ktorá krúžila na opačnej strane (keď sa, samozrejme, Slnko otáčalo okolo Zeme).

Oveľa dôležitejšie však je, že desiatka je základom toho, ako dnes počítame. Rátame (väčšinou, na určovanie času to neplatí, rovnako ani pre počítače) v desiatkovej sústave a odborníci sa domnievajú, že prvým impulzom k tomu mohol byť počet prstov na rukách.

Nabudúce sa ešte k číslam medzi jednotkou a desiatkou vrátime. Dôjde aj na tie zvláštne ako e, φ či pí.

Hlavný zdroj: Klán, Peter: Čísla (Academia/Galileo 2014)

Najčítanejšie na SME Tech


Inzercia - Tlačové správy


  1. 3 pravidlá pre lepší dôchodok
  2. Slovenské deti dostávajú mesačne 22€
  3. Eilat: Slnko, teplo a zábava
  4. Ku kuchynskej linke dostanete obývačku či vstavané skrine za 50%
  5. 4 rady pre deti a dospelých, ako sa starať o pokožku
  6. Výstava Podoby lásky zobrazí skutočné osudy konkrétnych žien
  7. Tohtoročné trhy pred Auparkom bude otvárať Vidiek
  8. Všetky okresy svojimi pobočkami pokrývajú len tri banky
  9. Vyrábajú v malom, no presadili sa. Sessler a Farmárske lupienky
  10. Ochráňte pred zlodejmi celé vozidlo vďaka VAM Akustik
  1. Eilat: Slnko, teplo a zábava
  2. Ku kuchynskej linke dostanete obývačku či vstavané skrine za 50%
  3. Exkurzia študentov Stavebnej fakulty STU v Bratislave
  4. Prichádza Black Friday, jazdenku môžete mať so zľavou 2000 eur
  5. 4 rady pre deti a dospelých, ako sa starať o pokožku
  6. Výstava Podoby lásky zobrazí skutočné osudy konkrétnych žien
  7. Tohtoročné trhy pred Auparkom bude otvárať Vidiek
  8. Všetky okresy svojimi pobočkami pokrývajú len tri banky
  9. Ochráňte pred zlodejmi celé vozidlo vďaka VAM Akustik
  10. Čerešne - miesto, kde môžete žiť podľa seba
  1. Vyrábajú v malom, no presadili sa. Sessler a Farmárske lupienky 16 036
  2. 3 pravidlá pre lepší dôchodok 8 540
  3. Slovenské deti dostávajú mesačne 22€ 4 603
  4. Stavba domu na kľúč – úspora času aj financií 3 872
  5. Ako sa zbaviť chladnej podlahy 3 092
  6. Tohtoročné trhy pred Auparkom bude otvárať Vidiek 1 951
  7. V tomto roku si už konečne užijem Vianoce bez vrások 1 846
  8. Online analýza spotreby elektriny vám pomôže ušetriť 1 805
  9. Čerešne - miesto, kde môžete žiť podľa seba 1 704
  10. Moskva alebo Petrohrad? 1 300

Téma: Čo neviete o číslach


Hlavné správy zo Sme.sk

EKONOMIKA

Vianočný dôchodok získa viac ľudí, Slováci v Rakúsku však nie

Najchudobnejší dôchodcovia znovu dostanú sto eur navyše, nemení sa to už štvrtý rok.

EKONOMIKA

Firma, ktorej zadržali kamióny: Hľadáte problém tam, kde nie je

North Sea Express je podozrivá z vykorisťovania.

PRIMÁR

Viac nočných môr a najmä zvuky. Ako snívajú nevidiaci

Čo sa sníva ľuďom, ktorí nikdy nevideli okolitý svet.

Neprehliadnite tiež

Zlyhávajúcemu srdcu môže s pumpovaním krvi pomôcť robot

Pokusy prebehli na tlčúcich srdciach prasiat.

Na Zemi strácame tmavú noc. Svetelný smog je stále jasnejší

Umelé svetlo je každým rokom jasnejšie a rozšírenejšie.

OBJEKTÍV

Aj veľryby majú svoj peeling. Používajú skaly na morskom dne

Morských biológov zaujala zvláštna škvrnitá pokožka jednej veľryby.

Facebook ukáže užívateľom, či sledovali ruskú propagandu

Sociálna sieť najíma viac posudzovateľov reklamy.

Počítače čítajú maliarsky rukopis, odlíšia originál od repliky

Počítačová analýza môže identifikovať neznáme diela, rozumie jednotlivým ťahom štetca.