ČO NEVIETE O ČÍSLACH

Od jedna po desať: päť čísel a čo o nich (asi) neviete

Ako vyhrať matematickú stávku a čo Gréci nedokázali? Spoznajte niektoré zaujímavé čísla medzi jednotkou a desiatkou.

1,0606601717 a tak ďalej

O takzvanom probléme či kocke princa Ruperta (po Ruprechtovi Falckom) mnoho ľudí nepočulo. V princípe to je však jednoduchá matematická úloha, ktorej riešenie zase také jednoduché nie je. Otázka zhruba znie: akú najväčšiu kocku dostanete cez inú kocku s jednotkovou dĺžkou strany?

Anekdota hovorí, že Ruprecht sa svojho času v 17. storočí stavil, že dokáže dostať jednu kocku cez takýto vyrezaný tunel v inej kocke (bez toho, aby sa jednotková kocka úplne rozdelila). Matematik John Wallis napokon ukázal, že to nielenže možné je, ale že taká kocka môže byť väčšia ako jednotková. Ruprecht stávku vyhral.

V skutočnosti je však zaujímavé skôr čosi iné: aj keď matematicky sa tento problém vyriešiť dá, v skutočnom svete – keďže rozdiely medzi kockami sú veľmi malé – je veľmi ťažké až nemožné model tejto úlohy zostrojiť. Preto sa o jej riešení občas hovorí, že je „matematicky možné, no prakticky nemožné“.

Napokon sa však ukázalo, že výsledkom úlohy je 3√2/4, teda 1,06066...

3√2

Keď už sme pri tých kockách a štvorcoch. Dávnych gréckych (proto)matematikov zaujímala úloha, ako zväčšiť kocku tak, aby mal výsledný útvar dvojnásobný objem. Presnejšie, ako pri danej veľkosti kocky rýchlo nájsť dĺžku hrany ďalšej kocky, ktorej objem bude dvojnásobný.

Nezabúdajme, že pri antickom prístupe k matematike ste na riešenie takejto úlohy mali len kružidlá, pravítka a možno tak pieskový bazén. Dnes už tušíme, že s takýmito geometrickými nástrojmi nie je možné úlohy vyriešiť.

No výsledok tejto úlohy poznáme a je ním 1,259921049... Teda 3√2.

Prečítajte si tiež: Prečítajte si tiež:Päť čísiel a čo o nich (asi) netušíte: od nuly do jednotky

1,414213562... a teda √2

O odmocnine z dvoch by sa dali napísať romány – a pravdepodobne aj nejaké vznikli. A bola by to kniha o pytagorejcoch, moci čísiel, matematickej mystike, náboženstvu i snahe zatajiť zistenia.

Skrátená verzia je ale zhruba takáto: ak máte jednotkový (odvesny) pravouhlý trojuholník, aká bude dĺžka jeho prepony?

Pytagorova veta totiž hovorí jasne, ak máme 12 + 12 na jednej strane a na druhej bude x2, potom x2 bude 2. A x bude √2.

Nám sa to ľahko píše, no predstavte si antický svet, v ktorom sú čísla cestou k mystériu a poznaniu a všetky sa dajú vyjadriť zlomkami iných celých čísel.

Čísla sú mierou vecí a zrazu sa objaví čosi, čo takéto nie je: ako už niekedy 500 rokov pred našim letopočtom dokázal istý Hippasos. Asi si to zdesenie (zrejme nielen pytagorejcov) predstaviť dokážete – no nám napokon dali celé univerzum iracionálnych čísel.

Historicky sa však hodnota √2 odhadovala. Pytagorejci (azda predtým, ako sa práve kvôli tejto úlohe rozpadli) tipovali výsledok na 7/5, Babylónci na 17/12, neskôr ešte presnejšie.

5

Keďže sme preskočili čísla dva aj tri, zastavme sa pri takom, ktoré ich spája.

Pytagorejci (pri nízkych číslach je o nich reč stále) verili, že päťka je súčtom prvého párneho ženského čísla (2) a prvého nepárneho mužského čísla (3) a predstavuje symbol života či manželstva.

Za mystické alebo posvätné však číslo päť považovali trebárs aj Mayovia, moslimovia a kdejaká iná civilizácia. Napokon, stačí sa pozrieť na ruky a nohy a koľko na každej nájdete prstov? Takže naši pradávni predkovia zrejme rátali v sústavách, ktoré mali s päťkou čosi spoločné.

Vo svete geometrie však platí, že päťka je súčtom dvoch štvorcov, jednotkového a dvojkového. Ako prvočíslo je súčtom všetkých menších prvočísel, ako ono samo.

Mnohé vlastnosti päťky súvisia aj so zlatým rezom – ale o tom si niečo povieme nabudúce.

A mimochodom, euklidovská geometria má päticu axióm.

10

Ak jestvuje čosi, čo pytagorejci považovali za dokonalé, bolo to číslo desať. V prípade antických mysliteľov to preto dospelo až do stavu, že keď poznali iba deväť nebeských javov a desiaty im chýbal, jednoducho si ho vymysleli.

Výsledkom tak bola akási Protizem za Slnkom, ktorú neboli nikdy vidieť, no ktorá krúžila na opačnej strane (keď sa, samozrejme, Slnko otáčalo okolo Zeme).

Oveľa dôležitejšie však je, že desiatka je základom toho, ako dnes počítame. Rátame (väčšinou, na určovanie času to neplatí, rovnako ani pre počítače) v desiatkovej sústave a odborníci sa domnievajú, že prvým impulzom k tomu mohol byť počet prstov na rukách.

Nabudúce sa ešte k číslam medzi jednotkou a desiatkou vrátime. Dôjde aj na tie zvláštne ako e, φ či pí.

Hlavný zdroj: Klán, Peter: Čísla (Academia/Galileo 2014)

Najčítanejšie na SME Tech


Inzercia - Tlačové správy


  1. Daikin predĺžil záruku na klimatizácie so službou Stand By Me
  2. 6 účinkov prírodného slovenského výrobku
  3. TAURIS výrobky na gril potešia gurmánov aj maškrtníkov
  4. Let s prestreleným srdcom: Samovraždy slovenských hercov
  5. Daikin predĺžil záruku na klimatizácie so službou Stand By Me
  6. Problémy s počatím? Čo vás čaká na ceste za dvomi čiarkami
  7. Ako pracujú horskí záchranári? Tieto veci by ste nemali podceniť
  8. Lety do exotiky už aj z Bratislavy
  9. Nonstop banka vo vrecku - aplikácia Mobil Banking
  10. Ako sme jazdili v socializme
  1. Už aj seniori presadajú do SUV
  2. 6 účinkov prírodného slovenského výrobku
  3. TAURIS výrobky na gril potešia gurmánov aj maškrtníkov
  4. Let s prestreleným srdcom: Samovraždy slovenských hercov
  5. Daikin predĺžil záruku na klimatizácie so službou Stand By Me
  6. Stavebný úrad neoprávnene predĺžil americkej ambasáde lehotu
  7. Grantová výzva na vykonávanie činností centier Europe Direct
  8. Problémy s počatím? Čo vás čaká na ceste za dvomi čiarkami
  9. Ako pracujú horskí záchranári? Tieto veci by ste nemali podceniť
  10. Lety do exotiky už aj z Bratislavy
  1. Let s prestreleným srdcom: Samovraždy slovenských hercov 22 275
  2. Ako sme jazdili v socializme 2 319
  3. Lety do exotiky už aj z Bratislavy 1 379
  4. Daikin predĺžil záruku na klimatizácie so službou Stand By Me 1 257
  5. Problémy s počatím? Čo vás čaká na ceste za dvomi čiarkami 949
  6. Zo stredomorskej stravy sa nepriberá 848
  7. TAURIS výrobky na gril potešia gurmánov aj maškrtníkov 814
  8. Ako pracujú horskí záchranári? Tieto veci by ste nemali podceniť 776
  9. Túžite po práci z pláže? 7 rád, ako sa stať digitálnym nomádom 680
  10. Prísne kontroly a veľa tepla. Takto sa vyrába mlieko 672

Téma: Čo neviete o číslach


Hlavné správy zo Sme.sk

DOMOV

Reportér Týždňa: Videl som, ako Fico Danka prekvapil a rozčúlil

Magušin sa s Dankom rozprával počas Ficovej tlačovky.

KOMENTÁRE

Fico s Bugárom verzus Danko. Ako čítať vývoj krízy

Premiér odvolal Plavčana a Danko sa cíti urazený.

Neprehliadnite tiež

Majú schopnosť superhrdinov. Prečo sú niektoré zvieratá priesvitné?

Krehké zvieratá roztrhne aj jemné rozvírenie vody.

ANKETA SO SLOVENSKÝMI VEDCAMI

Minister s istou dávkou sebareflexie by odstúpil aj sám (anketa s vedcami)

Slovenskí vedci reagujú na návrh odvolania ministra školstva Petra Plavčana.

Včelia materská kašička môže ukrývať spôsob, ako rýchlejšie hojiť rany

Výskum môže predstavovať ďalší dôvod, prečo chrániť včely.

ANKETA S REKTORMI

Školstvo potrebuje zmeny, škrípe podpora vedy (ako reagujú rektori univerzít)

Rezort školstva by sa podľa rektorov univerzít konečne mal stať prioritou.