ČO NEVIETE O ČÍSLACH

Od jedna po desať: päť čísel a čo o nich (asi) neviete

Ako vyhrať matematickú stávku a čo Gréci nedokázali? Spoznajte niektoré zaujímavé čísla medzi jednotkou a desiatkou.

1,0606601717 a tak ďalej

O takzvanom probléme či kocke princa Ruperta (po Ruprechtovi Falckom) mnoho ľudí nepočulo. V princípe to je však jednoduchá matematická úloha, ktorej riešenie zase také jednoduché nie je. Otázka zhruba znie: akú najväčšiu kocku dostanete cez inú kocku s jednotkovou dĺžkou strany?

Anekdota hovorí, že Ruprecht sa svojho času v 17. storočí stavil, že dokáže dostať jednu kocku cez takýto vyrezaný tunel v inej kocke (bez toho, aby sa jednotková kocka úplne rozdelila). Matematik John Wallis napokon ukázal, že to nielenže možné je, ale že taká kocka môže byť väčšia ako jednotková. Ruprecht stávku vyhral.

V skutočnosti je však zaujímavé skôr čosi iné: aj keď matematicky sa tento problém vyriešiť dá, v skutočnom svete – keďže rozdiely medzi kockami sú veľmi malé – je veľmi ťažké až nemožné model tejto úlohy zostrojiť. Preto sa o jej riešení občas hovorí, že je „matematicky možné, no prakticky nemožné“.

Napokon sa však ukázalo, že výsledkom úlohy je 3√2/4, teda 1,06066...

3√2

Keď už sme pri tých kockách a štvorcoch. Dávnych gréckych (proto)matematikov zaujímala úloha, ako zväčšiť kocku tak, aby mal výsledný útvar dvojnásobný objem. Presnejšie, ako pri danej veľkosti kocky rýchlo nájsť dĺžku hrany ďalšej kocky, ktorej objem bude dvojnásobný.

Nezabúdajme, že pri antickom prístupe k matematike ste na riešenie takejto úlohy mali len kružidlá, pravítka a možno tak pieskový bazén. Dnes už tušíme, že s takýmito geometrickými nástrojmi nie je možné úlohy vyriešiť.

No výsledok tejto úlohy poznáme a je ním 1,259921049... Teda 3√2.

Prečítajte si tiež: Prečítajte si tiež:Päť čísiel a čo o nich (asi) netušíte: od nuly do jednotky

1,414213562... a teda √2

O odmocnine z dvoch by sa dali napísať romány – a pravdepodobne aj nejaké vznikli. A bola by to kniha o pytagorejcoch, moci čísiel, matematickej mystike, náboženstvu i snahe zatajiť zistenia.

Skrátená verzia je ale zhruba takáto: ak máte jednotkový (odvesny) pravouhlý trojuholník, aká bude dĺžka jeho prepony?

Pytagorova veta totiž hovorí jasne, ak máme 12 + 12 na jednej strane a na druhej bude x2, potom x2 bude 2. A x bude √2.

Nám sa to ľahko píše, no predstavte si antický svet, v ktorom sú čísla cestou k mystériu a poznaniu a všetky sa dajú vyjadriť zlomkami iných celých čísel.

Čísla sú mierou vecí a zrazu sa objaví čosi, čo takéto nie je: ako už niekedy 500 rokov pred našim letopočtom dokázal istý Hippasos. Asi si to zdesenie (zrejme nielen pytagorejcov) predstaviť dokážete – no nám napokon dali celé univerzum iracionálnych čísel.

Historicky sa však hodnota √2 odhadovala. Pytagorejci (azda predtým, ako sa práve kvôli tejto úlohe rozpadli) tipovali výsledok na 7/5, Babylónci na 17/12, neskôr ešte presnejšie.

5

Keďže sme preskočili čísla dva aj tri, zastavme sa pri takom, ktoré ich spája.

Pytagorejci (pri nízkych číslach je o nich reč stále) verili, že päťka je súčtom prvého párneho ženského čísla (2) a prvého nepárneho mužského čísla (3) a predstavuje symbol života či manželstva.

Za mystické alebo posvätné však číslo päť považovali trebárs aj Mayovia, moslimovia a kdejaká iná civilizácia. Napokon, stačí sa pozrieť na ruky a nohy a koľko na každej nájdete prstov? Takže naši pradávni predkovia zrejme rátali v sústavách, ktoré mali s päťkou čosi spoločné.

Vo svete geometrie však platí, že päťka je súčtom dvoch štvorcov, jednotkového a dvojkového. Ako prvočíslo je súčtom všetkých menších prvočísel, ako ono samo.

Mnohé vlastnosti päťky súvisia aj so zlatým rezom – ale o tom si niečo povieme nabudúce.

A mimochodom, euklidovská geometria má päticu axióm.

10

Ak jestvuje čosi, čo pytagorejci považovali za dokonalé, bolo to číslo desať. V prípade antických mysliteľov to preto dospelo až do stavu, že keď poznali iba deväť nebeských javov a desiaty im chýbal, jednoducho si ho vymysleli.

Výsledkom tak bola akási Protizem za Slnkom, ktorú neboli nikdy vidieť, no ktorá krúžila na opačnej strane (keď sa, samozrejme, Slnko otáčalo okolo Zeme).

Oveľa dôležitejšie však je, že desiatka je základom toho, ako dnes počítame. Rátame (väčšinou, na určovanie času to neplatí, rovnako ani pre počítače) v desiatkovej sústave a odborníci sa domnievajú, že prvým impulzom k tomu mohol byť počet prstov na rukách.

Nabudúce sa ešte k číslam medzi jednotkou a desiatkou vrátime. Dôjde aj na tie zvláštne ako e, φ či pí.

Hlavný zdroj: Klán, Peter: Čísla (Academia/Galileo 2014)

Najčítanejšie na SME Tech


Inzercia - Tlačové správy


  1. Kedy sa refinancovanie oplatí?
  2. 3 mýty, ktorým ste možno uverili. Ale ako je to naozaj?
  3. Novinka v realitnom biznise! Zatiaľ dostupné len v Grand Koliba
  4. FemFest 2017 ponúkne beh na opätkoch i koncert známej speváčky
  5. Plug-in, hybrid alebo elektromobil? Poradíme, ako správne vybrať
  6. Bývajte v budove, po ktorej sa prechádzal Schöne Náci
  7. Trenčania to chcú mať všade blízko. Kde kupujú byty?
  8. ENGIE Services odovzdala do prevádzky novú kotolňu v Košiciach
  9. Poistenci VšZP už nebudú platiť 17 centov v lekárňach za recepty
  10. Potraviny typické pre váš región nájdete už aj v Kauflande
  1. Novinka v realitnom biznise! Zatiaľ dostupné len v Grand Koliba
  2. 3 mýty, ktorým ste možno uverili. Ale ako je to naozaj?
  3. FemFest 2017 ponúkne beh na opätkoch i koncert známej speváčky
  4. Slávnostná imatrikulácia SvF STU v Bratislave
  5. Unverzita vyTVORená nápadmi študentov!
  6. Slovenské mestá môžu využiť eurofondy na zelené strechy
  7. Plug-in, hybrid alebo elektromobil? Poradíme, ako správne vybrať
  8. Program obnovy chodníkov v Starom Meste schválený
  9. Stavebná fakulta STU získala certifikát EUR-ACE
  10. Stavebná fakulta STU získala certifikát EUR-ACE
  1. Poistenci VšZP už nebudú platiť 17 centov v lekárňach za recepty 9 549
  2. Plug-in, hybrid alebo elektromobil? Poradíme, ako správne vybrať 3 750
  3. Lokalita pod Kolibou výrazne mení svoju tvár 3 083
  4. Trenčania to chcú mať všade blízko. Kde kupujú byty? 3 068
  5. Exotické destinácie s priamym letom z Viedne 2 178
  6. Bývajte v budove, po ktorej sa prechádzal Schöne Náci 1 632
  7. Kedy sa refinancovanie oplatí? 1 627
  8. Zabudnite na nové a neekologické PC. Je tu Refurbished! 1 439
  9. Potraviny typické pre váš región nájdete už aj v Kauflande 1 433
  10. ENGIE Services odovzdala do prevádzky novú kotolňu v Košiciach 1 050

Téma: Čo neviete o číslach


Hlavné správy zo Sme.sk

DOMOV

Armádny generál: S migmi si načas vystačíme, no bude to drahšie

Udržanie starých stíhačiek bude drahé, Rusi si môžu zapýtať viac. Nebo by nám však dočasne mohli ochrániť aj Česi či Poliaci.

Nadhľad Matie Lenickej

Radi by sme mali istotu, že ráno ešte bude svetlo

Rozumieme, komu najviac nahráva a vyhovuje Kiskova kauza.

Komentár Petra Schutza

Gajdošovi sa veriť nedá, pre Danka

V Smer-SNS-Híd je kapitán veľkým pánom.

EKONOMIKA

Do Moricových železničných opravovní vstupuje nový investor

Budamar získa tretinu v ŽOS Vrútky.

Neprehliadnite tiež

Microsoft rozseká Windows 10 Mobile, chystá modulárnu Andromedu

Nová stratégia zníži náklady na vývoj i podporu. Microsoft chce byť dostupnejší pre výrobcov.

Geológ: Ochladili Zem a vyhubili ľudí. Našu planétu čaká supererupcia

Výbuch supervulkánu by bol aj dnes katastrofický, hovorí geochronológ Martin Danišík, ktorý publikoval v prestížnom vedeckom časopise.

Klimatológovia: Hurikány spôsobili tento rok najdrahšie škody v histórii

Čo hovoria odborníci na tohtoročnú rekordnú sezónu hurikánov.

Google začal linkovať adresy a telefónne čísla

Ak často prepisujete v mobile kontaktné údaje, už to nebudete musieť opakovať.