Logika pre každého je pravidelná séria stĺpčekov o logike pripravená v spolupráci s Katedrou logiky a metodológie vied FF UK.
V predchádzajúcom stĺpčeku sme hovorili o paradoxoch istého druhu. Paradox učiteľa a jeho žiaka patrí medzi slabšie paradoxy, pretože má jednoznačné riešenie.
Sudca rozhodol, že žaloba Protagora na Euathla bola neoprávnená, pretože Euathlos doteraz ešte neviedol žiadny súdny spor, a teda ani žiadny nemohol vyhrať. Takto ani podľa rozhodnutia súdu, ani podľa dohody nemusel Euathlos zaplatiť Protagorovi.
Ak by však vzápätí Protagoras žaloval Euathla za to, že mu podľa ich dohody mal zaplatiť po prvom vyhratom spore a neurobil tak, súd by už rozhodol v prospech Protagora, pretože Euathlos už viedol súdny spor a vyhral ho.
Matka a krokodíl
Krokodílsky paradox má zvláštne riešenie. Matka zachráni dieťa tým, že krokodílovi povie: „Zješ ho.“ Je zrejmé, že krokodíl nemôže dieťa vrátiť matke, pretože potom by neuhádla, čo s ním spraví a podľa prísahy by ho musel zjesť.
Krokodíl však dieťa nemôže ani nevrátiť a zjesť, pretože v tom prípade by matka uhádla, čo s ním spraví a podľa prísahy ho má vrátiť celé a živé. Krokodíl má problém dodržať sľub. Pragmatické riešenie by spočívalo v tom, že krokodílovi jednoducho zostalo dieťa na výchovu.
V treťom paradoxe sa už vykľúva zásadnejší problém. Určenie najvyššej ceny špecifikáciou voči druhej cene predpokladá, že táto druhá cena je pevne určená. Tá je však špecifikovaná odkazom na prvú cenu, a preto v takejto špecifikácii je bludný kruh.
Licitátor mal obe ponuky odmietnuť ako neurčité či vlastne ako niečo, čo nie je vôbec ponukou.
Eubulidov paradox – paradox luhára (Kréťana)
Najznámejším paradoxom je paradox luhára, o ktorom vynikajúci stoický logik Chrysippos napísal 29 kníh, filozof Filétos dokonca kvôli nemu zomrel (z úmorného uvažovania nad jeho riešením) a logici jeho riešeniu venujú svoje úsilie podnes. Známych je niekoľko verzií.
Do Grécka sa priplaví starý známy Kréťan (je jedno, či sa volal Eubulides či Epimenides - tradujú sa obe mená) a podpichne Grékov, ktorí stoja na brehu, vetou:
„Všetci Kréťania sú luhári“.
Luhárom sa myslí ten, ktorý vždy klame (každá jeho výpoveď ako celok je nepravdivá). Gréci rozmýšľajú, čo vlastne povedal – pravdu alebo nepravdu?
O týždeň sa Kréťan opäť priplavil a riekol:
„Všetci Kréťania sú luhári a to, čo hovorím, je pravda“.
Hoci Gréci na brehu horko-ťažko zistili, čo povedal prvýkrát, teraz boli akosi bezradní.
O ďalší týždeň sa Kréťan opäť priplavil a riekol:
„Klamem“.
Povedal pravdu? Povedal nepravdu? To už bol pre Grékov skoro neriešiteľný rébus.
Plodí sebevzťažnosť vždy chybu bludného kruhu?
Vysvetlenie chyby v týchto „neriešiteľných“ či pravých logických paradoxoch (antinómií) bolo rôzne. Výsledok stoického vysvetlenia bol jednoduchý.
Vyslovenie či napísanie nejakej postupnosti slov nejakého jazyka, ktorá vyzerá ako nejaký výrok, ešte vonkoncom neznamená, že touto postupnosťou slov je aj zachytený nejaký význam. A to aj napriek tomu, že autor výroku naozaj zamýšľal čosi vyjadriť.
Jednoducho nikto nikomu nezabráni nekriticky používať jazyk podobne, ako nikto nikomu nemôže navždy zabrániť, aby nedodržiaval pravidlá bezpečnej premávky a spôsobil karambol. Vety, ktoré vyslovil onen Kréťan (samozrejme v gréčtine), neboli podľa Chrysippa skutočnými výrokmi. Žiaľ, podrobnosti tohto zdôvodnenia sa nezachovali.
Russell videl ako hlavný dôvod antinómie luhára a jej podobných v sebevzťažnosti slovných spojení – to, že hovoria niečo o sebe. Bolo však jasné, že nie každý prípad sebevzťažnosti vedie k chybe. Napríklad vo vete
„Táto veta je jednoriadková“
je prítomná sebevzťažnosť, ale predsa nevedie k žiadnemu paradoxu a veta pravdivo vypovedá o sebe, že je jednoriadková. Vlastnosť „jednoriadkovosti“ však nie je sémantický pojem.
Sémantické pojmy a sebevzťažnosť
Paradox vzniká vtedy, keď do hry vstúpi ešte sémantický pojem – typicky to je pojem pravdivosti (ale aj pojmy označovania a pod). Napríklad majme vetu:
(1) Veta (1) je nepravdivá.
Tu už chyba bludného kruhu pri bežnom pojme pravdivosti (Veta je pravdivá, keď to, čo hovorí, je pravdivé.) plodí paradox, pretože ak je pravdivá, tak, to, čo hovorí, je pravdivé, t.j. že nie je pravdivá, čo je v spore s predpokladom.
Ak predpokladáme, že je nepravdivá, tak to, čo hovorí, má byť nepravdivé, t.j. že je pravdivá, čo je opäť v spore s predpokladom. Odvodili sme logický spor.
Zákaz bludného kruhu môžeme vyjadriť i nasledovne: špecifikácia nejakej funkcie nemôže závisieť od určenia hodnoty tejto funkcie pre nejakú hodnotu vstupu, ktorá by závisela od špecifikácie samej funkcie.
Alfred Tarski prišiel s rozlíšením objektového jazyka a metajazyka a chybu vysvetľuje tak, že vety, ktoré vypovedajú o všetkých vetách nejakého objektového jazyka, už nemôžu byť jednou z týchto viet. Takéto vety musia byť z metajazyka.
Vysvetlení paradoxov a antinómií je veľa a mnohé sú oveľa prepracovanejšie, ako tie, ktoré sme uviedli. Čo je však dôležité a poučné, je fakt, že aj takéto vedomé intelektuálne karamboly môžu viesť k dôležitým netriviálnym poznatkom.
Antinómia luhára bola po viac ako dvetisíc rokoch jednou z inšpirácii, ktoré viedli Kurta Gödela k najväčšiemu objavu v logike v 20-tom storočí. O tom možno nabudúce.
Autor je logik a bývalý rektor Univerzity Komenského.
Autor: František Gahér
