SME
Sobota, 19. jún, 2021 | Meniny má AlfrédKrížovkyKrížovky
LOGIKA PRE KAŽDÉHO

Stĺpček o logike: Toto sú pravé logické paradoxy

Sú v logike neriešiteľné paradoxy? O nich, ale aj vysvetlenia tých z minulého týždňa.

(Zdroj: ILUSTRAČNÉ - WIKIMEDIA)
Logika pre každého je pravidelná séria stĺpčekov o logike pripravená v spolupráci s Katedrou logiky a metodológie vied FF UK.

V predchádzajúcom stĺpčeku sme hovorili o paradoxoch istého druhu. Paradox učiteľa a jeho žiaka patrí medzi slabšie paradoxy, pretože má jednoznačné riešenie.

Sudca rozhodol, že žaloba Protagora na Euathla bola neoprávnená, pretože Euathlos doteraz ešte neviedol žiadny súdny spor, a teda ani žiad­ny nemohol vyhrať. Takto ani podľa rozhodnutia súdu, ani podľa dohody nemusel Euathlos zaplatiť Protagorovi.

Ak by však vzápätí Protagoras žaloval Euathla za to, že mu podľa ich dohody mal zaplatiť po prvom vyhratom spore a neurobil tak, súd by už rozhodol v prospech Protagora, pretože Euathlos už viedol súdny spor a vyhral ho.

Matka a krokodíl

Krokodílsky paradox má zvláštne riešenie. Matka zachráni dieťa tým, že krokodílovi povie: „Zješ ho.“ Je zrejmé, že krokodíl nemôže dieťa vrátiť matke, pretože potom by neuhádla, čo s ním spraví a podľa prísahy by ho musel zjesť.

Krokodíl však dieťa ne­môže ani nevrátiť a zjesť, pretože v tom prípade by matka uhádla, čo s ním spraví a podľa prísahy ho má vrátiť celé a živé. Krokodíl má problém dodržať sľub. Pragmatické riešenie by spočívalo v tom, že krokodílovi jednoducho zostalo dieťa na výchovu.

V treťom paradoxe sa už vykľúva zásadnejší problém. Určenie najvyššej ceny špecifikáciou voči druhej cene predpokladá, že táto druhá cena je pevne určená. Tá je však špecifikovaná odkazom na prvú cenu, a preto v takejto špecifikácii je bludný kruh.

Licitátor mal obe ponuky odmietnuť ako neurčité či vlastne ako niečo, čo nie je vôbec ponukou.

Eubulidov paradox – paradox luhára (Kréťana)

Najznámejším paradoxom je paradox luhára, o ktorom vynikajúci stoický logik Chrysippos napísal 29 kníh, filozof Filétos dokonca kvôli nemu zomrel (z úmor­ného uvažovania nad jeho riešením) a logici jeho riešeniu venujú svoje úsilie podnes. Známych je niekoľko verzií.

Do Grécka sa priplaví starý známy Kré­ťan (je jedno, či sa volal Eubulides či Epimenides - tradujú sa obe mená) a podpichne Grékov, ktorí stoja na brehu, vetou:

„Všetci Kréťania sú luhári“.

Luhárom sa myslí ten, ktorý vždy klame (každá jeho výpoveď ako celok je nepravdivá). Gréci rozmýšľajú, čo vlastne povedal – pravdu alebo nepravdu?

O týždeň sa Kréťan opäť priplavil a riekol:

„Všetci Kréťania sú luhári a to, čo hovorím, je pravda“.

Hoci Gréci na brehu horko-ťažko zistili, čo povedal prvýkrát, teraz boli akosi bezradní.

O ďalší týždeň sa Kréťan opäť priplavil a riekol:

„Klamem“.

Povedal pravdu? Povedal nepravdu? To už bol pre Grékov skoro neriešiteľný rébus.

Plodí sebevzťažnosť vždy chybu bludného kruhu?

Vysvetlenie chyby v týchto „neriešiteľných“ či pravých logických paradoxoch (antinómií) bolo rôzne. Výsledok stoického vysvetlenia bol jednoduchý.

Vyslovenie či napísanie nejakej postupnosti slov nejakého jazyka, ktorá vyzerá ako nejaký výrok, ešte vonkoncom neznamená, že touto postupnosťou slov je aj zachytený nejaký význam. A to aj napriek tomu, že autor výroku naozaj zamýšľal čosi vyjadriť.

Jednoducho nikto nikomu nezabráni nekriticky používať jazyk podobne, ako nikto nikomu nemôže navždy zabrániť, aby nedodržiaval pravidlá bezpečnej premávky a spôsobil karambol. Vety, ktoré vyslovil onen Kréťan (samozrejme v gréčtine), neboli podľa Chrysippa skutočnými výrokmi. Žiaľ, podrobnosti tohto zdôvodnenia sa nezachovali.

Russell videl ako hlavný dôvod antinómie luhára a jej podobných v sebevzťažnosti slovných spojení – to, že hovoria niečo o sebe. Bolo však jasné, že nie každý prípad sebevzťažnosti vedie k chybe. Napríklad vo vete

„Táto veta je jednoriadková“

je prítomná sebevzťažnosť, ale predsa nevedie k žiadnemu paradoxu a veta pravdivo vypovedá o sebe, že je jednoriadková. Vlastnosť „jednoriadkovosti“ však nie je sémantický pojem.

Sémantické pojmy a sebevzťažnosť

Paradox vzniká vtedy, keď do hry vstúpi ešte sémantický pojem – typicky to je pojem pravdivosti (ale aj pojmy označovania a pod). Napríklad majme vetu:

(1) Veta (1) je nepravdivá.

Tu už chyba bludného kruhu pri bežnom pojme pravdivosti (Veta je pravdivá, keď to, čo hovorí, je pravdivé.) plodí paradox, pretože ak je pravdivá, tak, to, čo hovorí, je pravdivé, t.j. že nie je pravdivá, čo je v spore s predpokladom.

Ak predpokladáme, že je nepravdivá, tak to, čo hovorí, má byť nepravdivé, t.j. že je pravdivá, čo je opäť v spore s predpokladom. Odvodili sme logický spor.

Zákaz bludného kruhu môžeme vyjadriť i nasledovne: špecifikácia nejakej funkcie nemôže závisieť od určenia hodnoty tejto funkcie pre nejakú hodnotu vstupu, ktorá by závisela od špecifikácie samej funkcie.

Alfred Tarski prišiel s rozlíšením objektového jazyka a metajazyka a chybu vysvetľuje tak, že vety, ktoré vypovedajú o všetkých vetách nejakého objektového jazyka, už nemôžu byť jednou z týchto viet. Takéto vety musia byť z metajazyka.

Vysvetlení paradoxov a antinómií je veľa a mnohé sú oveľa prepracovanejšie, ako tie, ktoré sme uviedli. Čo je však dôležité a poučné, je fakt, že aj takéto vedomé intelektuálne karamboly môžu viesť k dôležitým netriviálnym poznatkom.

Antinómia luhára bola po viac ako dvetisíc rokoch jednou z inšpirácii, ktoré viedli Kurta Gödela k najväčšiemu objavu v logike v 20-tom storočí. O tom možno nabudúce.

Autor je logik a bývalý rektor Univerzity Komenského.

Skryť Vypnúť reklamu

Najčítanejšie na SME Tech

Skryť Vypnúť reklamu
Skryť Vypnúť reklamu
Skryť Vypnúť reklamu
Skryť Vypnúť reklamu

Hlavné správy zo Sme.sk

Premiér Eduard Heger.

Najvyšší súd roztrhal verdikt Sabovej senátu na márne franforce.


17. jún
Ilustračná fotografia.

PCR testy na Slovensku odhalili viac ako 391-tisíc nakazených koronavírusom. Pandémia Covid-19 si vyžiadala 12 486 obetí.


a 3 ďalší 12 h
V kempoch na Slovensku privítali oveľa viac ľudí, ako boli zvyknutí.

Prišlo viac ľudí a Slováci boli prekvapení.


21 h
Lucia Molnár Satinská má radšej riečnu krajinu ako hory a hovorí, že na južnom Slovensku sa oplatí ísť kamkoľvek.

Akí sú bratislavskí Maďari a kde sú starí Prešporáci.


15. jún

Neprehliadnite tiež

Výskumný pracovník kráča okolo plášta s logom nemeckej biofarmaceutickej výskumnej spoločnosti CureVac v nemeckom meste Tübingen.

CureVac testoval, keď sa šírili početné mutácie.


20 h
Technologický podcast Klik.

Komentovaný prehľad technologických správ.


a 2 ďalší 11 h