SME
Sobota, 21. september, 2019 | Meniny má Matúš
KRÁTKO O ČÍSLACH

Nekonečno, ktoré je väčšie ako iné nekonečno. Posledné číslo a čo o ňom (asi) neviete

Poslednú časť nášho seriálu o číslach a matematike ukončíme štýlovo. Čo už by bolo viac ako nekonečno?

(Zdroj: ILUSTRAČNÉ – Stephen J. Brooks/WIKIMEDIA/CC)

Nič nie je väčšie, pravdepodobne si poviete. Niektorí si pamätajú, že ten symbol ležatej osmičky (zápis pochádza zo 17. storočia od matematika Johna Wallisa) sa občas objavil pri rátaní s rôznymi písmenkami, možno vám dokonca napadne, že nulou by sme asi nemali deliť: lebo keď už nič iné, tak čokoľvek nad ničím je nekonečno (povie relatívne naivná predstava).

Ako to však s nekonečnom naozaj je? V prvom rade, aj keď sa to nezdá, nekonečno nie je jedno. Je to trochu neintuitívne tvrdenie, veď ako môže byť niečo viac nekonečno ako iné nekonečno? Nuž môže, v tomto prípade totiž čiastočne zlyháva naša intuícia a čiastočne to, ako používame náš jazyk.

Článok pokračuje pod video reklamou

Potenciálne a aktuálne

Dôležitá je myšlienka, s ktorou prišiel v 19. storočí česko-nemecký matematik a kňaz Bernard Bolzano. Podstatou jeho nápadu je, že nekonečno môže byť potenciálne a aktuálne.

Potenciálne je zhruba množinou, ktorá má síce konečný počet prvkov, no vždy k nej dokážete pridať nejaké ďalšie. Je to možné nekonečno, nekonečno, ku ktorému sa môžeme iba približovať (ale nie ho dosiahnuť) a jeho príkladom je trebárs priamka v euklidovskej geometrii. Ak predpokladáme, že nejaká takáto priamka má nekonečnú dĺžku, môžeme akúkoľvek úsečku v jednom či druhom smere predĺžiť tak, že sa k tomuto nekonečnu bude približovať.

Oveľa zaujímavejšie je však aktuálne nekonečno. A takéto nekonečno nie je, paradoxne, jedno.

Aktuálne nekonečno označuje skutočné nekonečno a aktuálne nekonečná množina je celkom, nie čímsi, k čomu sa chceme priblížiť. Nemusíme sa púšťať do sveta kardinálnych a ordinálnych čísel, ale aby sme mohli hovoriť o viacerých nekonečných, padnúť by mali mená ako Cantor, Frege či Dedekind. Kľúčom je pritom takzvaná mohutnosť množín a znamená zhruba počet prvkov danej množiny.

V prípade prirodzených čísel voláme mohutnosť takejto množiny alef nula. O inej množine by sme povedali, že má rovnakú mohutnosť ako množina prirodzených čísel, ak ku každému prvku z tejto množiny dokážeme priradiť iný prvok z množiny prirodzených čísel. Teda, je (rovnako) nekonečná.

To je paradoxné tvrdenie: asi by sme povedali, že racionálnych čísel (čísel, ktoré sa dajú vyjadriť zlomkom dvoch celých čísel) predsa musí byť viac ako prirodzených čísel (celých kladných čísel) – už len preto, že medzi trebárs jednotkou a dvojkou žiadne prirodzené číslo nie je, no racionálnych tam je hromada. Presnejšie, nekonečno.

Lenže platí, že súbory čísel je (matematicky) možné usporiadať tak, že ku každému racionálnemu číslu priradíte prirodzené, a naopak. A tak majú tieto množiny rovnaké mohutnosti.

To sa však nedá urobiť v prípade reálnych čísel. Reálne čísla nemožno takýmto jedno-jednoznačným spôsobom priradiť k prirodzeným číslam a preto ich aktuálne nekonečno bude iné.

Pravdupovediac, bude väčšie: výsledkom Cantorovej práce tak je, že jestvuje nekonečno, ktoré je (technicky) väčšie ako iné nekonečno. Alebo inak, jestvuje viac reálnych čísel ako prirodzených čísel.

Načítavám video...

Ako v dejinách?

Ako sme k myšlienke nekonečien vôbec prišli? V matematike to tak už býva, že na začiatku bola filozofia. Antickí Gréci, napríklad, s nekonečnom nerátali, bolo spočiatku skôr súčasťou ich filozofickej predstavy sveta.

Najbližšie sa však k matematickým operáciám v prípade Grékov dostal slávny Zenón z Eley – a asi všetci už počuli o jeho hlavolamoch (apóriách), napríklad o pretekoch Achilla a korytnačky.

Matematici však začali s nekonečnom systematicky pracovať až v spomínanom sedemnástom storočí vďaka práci Gottfrieda Wilhelma Leibniza a Johna Wallisa, ktorý prvý použil notáciu ležatej osmičky. Nekonečnom sa zaoberal aj slávny Leonhard Euler, ten však používal symbol i.

Za súčasné poznanie o nekonečných však vďačíme príchodu teórie množín.

Najčítanejšie na SME Tech

Inzercia - Tlačové správy

  1. Aj verejnosť si vyberá svojho Učiteľ Slovenska
  2. Púštne kráľovstvo: Prečo by ste mali navštíviť Jordánsko?
  3. Známe i menej známe tváre nechcú inú zdravotnú poisťovňu
  4. Bývate často chorý? Odmerajte si vlhkosť vzduchu
  5. Revolučný Volkswagen ID.3 naživo z Frankfurtu!
  6. Nepremeškajte túto šancu. Jedinečná konferencia sa blíži
  7. Vyberte si dovolenku na Silvestra už teraz
  8. Afrika, Ázia a Karibik: Exotické plavby s letenkou a sprievodcom
  9. Kupujete si SUV do mesta? Oplatí sa benzín, diesel alebo hybrid?
  10. V prvom roku fixný výnos až 8,5 % ročne
  1. Nový Focus ST - exkluzívne vo Ford POP Up Store
  2. Aj verejnosť si vyberá svojho Učiteľ Slovenska
  3. Púštne kráľovstvo: Prečo by ste mali navštíviť Jordánsko?
  4. Špičkový slovenský pretekár Maťo Homola je ambasádorom OMV
  5. Špičkový slovenský pretekár Maťo Homola je ambasádorom OMV
  6. Známe i menej známe tváre nechcú inú zdravotnú poisťovňu
  7. Bývate často chorý? Odmerajte si vlhkosť vzduchu
  8. Ochrana klímy spojí slovenské mestá a obce
  9. Revolučný Volkswagen ID.3 naživo z Frankfurtu!
  10. Na hrúbke záleží. Aj dva centimetre rozhodujú
  1. Kupujete si SUV do mesta? Oplatí sa benzín, diesel alebo hybrid? 11 790
  2. Bývate často chorý? Odmerajte si vlhkosť vzduchu 10 469
  3. Známe i menej známe tváre nechcú inú zdravotnú poisťovňu 9 291
  4. Na hrúbke záleží. Aj dva centimetre rozhodujú 7 903
  5. Afrika, Ázia a Karibik: Exotické plavby s letenkou a sprievodcom 6 671
  6. Vyberte si dovolenku na Silvestra už teraz 6 211
  7. Osem cestovateľských tipov, kam sa vybrať cez jesenné prázdniny 5 762
  8. SEAT vyriešil problém s bezpečnosťou bezkľúčového prístupu 5 761
  9. Vyhrajte cestu okolo sveta 5 681
  10. Máte bolesti hlavy či depresie? Vinníkom môže byť intolerancia 5 597

Téma: Čo neviete o číslach


Hlavné správy zo Sme.sk

Dane budú nižšie. Kto ušetrí najviac?

Zmení sa daň z príjmov aj nezdaniteľné minimum.

Ilustračné foto.
Momentka zo zápasu Slovan Bratislava - Besiktas Istanbul.
Stĺpček Petra Schutza

Černákov pardon dokonale zapadá do absurdity aj zmenkového príbehu

Dôkazový stav sa zdá byť silný.

Komentátor SME Peter Schutz.
Ilustračná fotografia.

Neprehliadnite tiež

Ilustračné foto.
Ben Feringa získal Nobelovu cenu za chémiu v roku 2016. Podelil sa o ňu s chemikmi Jean-Pierrom Sauvageom a Sirom J. Fraserom Stoddartom.
Podcast Klik

Klik: Prečo sa Spotify začína hrať na Veľkého brata

Komentovaný prehľad technologických správ.

Podcast Klik denníka SME.