KRÁTKO O ČÍSLACH

Nekonečno, ktoré je väčšie ako iné nekonečno. Posledné číslo a čo o ňom (asi) neviete

Poslednú časť nášho seriálu o číslach a matematike ukončíme štýlovo. Čo už by bolo viac ako nekonečno?

(Zdroj: ILUSTRAČNÉ – Stephen J. Brooks/WIKIMEDIA/CC)

Nič nie je väčšie, pravdepodobne si poviete. Niektorí si pamätajú, že ten symbol ležatej osmičky (zápis pochádza zo 17. storočia od matematika Johna Wallisa) sa občas objavil pri rátaní s rôznymi písmenkami, možno vám dokonca napadne, že nulou by sme asi nemali deliť: lebo keď už nič iné, tak čokoľvek nad ničím je nekonečno (povie relatívne naivná predstava).

Ako to však s nekonečnom naozaj je? V prvom rade, aj keď sa to nezdá, nekonečno nie je jedno. Je to trochu neintuitívne tvrdenie, veď ako môže byť niečo viac nekonečno ako iné nekonečno? Nuž môže, v tomto prípade totiž čiastočne zlyháva naša intuícia a čiastočne to, ako používame náš jazyk.

Potenciálne a aktuálne

Dôležitá je myšlienka, s ktorou prišiel v 19. storočí česko-nemecký matematik a kňaz Bernard Bolzano. Podstatou jeho nápadu je, že nekonečno môže byť potenciálne a aktuálne.

Potenciálne je zhruba množinou, ktorá má síce konečný počet prvkov, no vždy k nej dokážete pridať nejaké ďalšie. Je to možné nekonečno, nekonečno, ku ktorému sa môžeme iba približovať (ale nie ho dosiahnuť) a jeho príkladom je trebárs priamka v euklidovskej geometrii. Ak predpokladáme, že nejaká takáto priamka má nekonečnú dĺžku, môžeme akúkoľvek úsečku v jednom či druhom smere predĺžiť tak, že sa k tomuto nekonečnu bude približovať.

Oveľa zaujímavejšie je však aktuálne nekonečno. A takéto nekonečno nie je, paradoxne, jedno.

Aktuálne nekonečno označuje skutočné nekonečno a aktuálne nekonečná množina je celkom, nie čímsi, k čomu sa chceme priblížiť. Nemusíme sa púšťať do sveta kardinálnych a ordinálnych čísel, ale aby sme mohli hovoriť o viacerých nekonečných, padnúť by mali mená ako Cantor, Frege či Dedekind. Kľúčom je pritom takzvaná mohutnosť množín a znamená zhruba počet prvkov danej množiny.

V prípade prirodzených čísel voláme mohutnosť takejto množiny alef nula. O inej množine by sme povedali, že má rovnakú mohutnosť ako množina prirodzených čísel, ak ku každému prvku z tejto množiny dokážeme priradiť iný prvok z množiny prirodzených čísel. Teda, je (rovnako) nekonečná.

To je paradoxné tvrdenie: asi by sme povedali, že racionálnych čísel (čísel, ktoré sa dajú vyjadriť zlomkom dvoch celých čísel) predsa musí byť viac ako prirodzených čísel (celých kladných čísel) – už len preto, že medzi trebárs jednotkou a dvojkou žiadne prirodzené číslo nie je, no racionálnych tam je hromada. Presnejšie, nekonečno.

Lenže platí, že súbory čísel je (matematicky) možné usporiadať tak, že ku každému racionálnemu číslu priradíte prirodzené, a naopak. A tak majú tieto množiny rovnaké mohutnosti.

To sa však nedá urobiť v prípade reálnych čísel. Reálne čísla nemožno takýmto jedno-jednoznačným spôsobom priradiť k prirodzeným číslam a preto ich aktuálne nekonečno bude iné.

Pravdupovediac, bude väčšie: výsledkom Cantorovej práce tak je, že jestvuje nekonečno, ktoré je (technicky) väčšie ako iné nekonečno. Alebo inak, jestvuje viac reálnych čísel ako prirodzených čísel.

Ako v dejinách?

Ako sme k myšlienke nekonečien vôbec prišli? V matematike to tak už býva, že na začiatku bola filozofia. Antickí Gréci, napríklad, s nekonečnom nerátali, bolo spočiatku skôr súčasťou ich filozofickej predstavy sveta.

Najbližšie sa však k matematickým operáciám v prípade Grékov dostal slávny Zenón z Eley – a asi všetci už počuli o jeho hlavolamoch (apóriách), napríklad o pretekoch Achilla a korytnačky.

Matematici však začali s nekonečnom systematicky pracovať až v spomínanom sedemnástom storočí vďaka práci Gottfrieda Wilhelma Leibniza a Johna Wallisa, ktorý prvý použil notáciu ležatej osmičky. Nekonečnom sa zaoberal aj slávny Leonhard Euler, ten však používal symbol i.

Za súčasné poznanie o nekonečných však vďačíme príchodu teórie množín.

Najčítanejšie na SME Tech


Inzercia - Tlačové správy


  1. ENERGOFÓRUM® 2017 spojí elektrinu a plyn pod jednu strechu
  2. Získajte prístup k zamknutým článkom už o niekoľko sekúnd
  3. Návod, ako si s kreditkou užijete dovolenku a ešte aj ušetríte
  4. 5 tipov ako na zdravé nôžky v škole
  5. 6 účinkov prírodného slovenského výrobku
  6. Let s prestreleným srdcom: Samovraždy slovenských hercov
  7. TAURIS výrobky na gril potešia gurmánov aj maškrtníkov
  8. Problémy s počatím? Čo vás čaká na ceste za dvomi čiarkami
  9. Ako pracujú horskí záchranári? Tieto veci by ste nemali podceniť
  10. Lety do exotiky už aj z Bratislavy
  1. Máte doma retro kúsky spojené s pivom Šariš?
  2. Študenti stredných a vysokých škôl môžu získať na účet 1000€
  3. ENERGOFÓRUM® 2017 spojí elektrinu a plyn pod jednu strechu
  4. 100 %-nú hypotéku môžete dostať aj na mestský apartmán
  5. Business Smartphones Connected to Public Wi-Fi Can Be in Danger
  6. Získajte prístup k zamknutým článkom už o niekoľko sekúnd
  7. Poslanec Borguľa žiada o uvoľnenie parkoviska pre rezidentov
  8. OMV sa postará o pitný režim, bude rozdávať vodu
  9. Návod, ako si s kreditkou užijete dovolenku a ešte aj ušetríte
  10. Leto nekončí!
  1. Let s prestreleným srdcom: Samovraždy slovenských hercov 6 222
  2. Získajte prístup k zamknutým článkom už o niekoľko sekúnd 3 043
  3. Ako sme jazdili v socializme 1 945
  4. 6 účinkov prírodného slovenského výrobku 1 782
  5. Očarujúca Srí Lanka: malý ostrov plný prekvapení 1 497
  6. Návod, ako si s kreditkou užijete dovolenku a ešte aj ušetríte 1 424
  7. Lety do exotiky už aj z Bratislavy 1 256
  8. 5 tipov ako na zdravé nôžky v škole 1 247
  9. Problémy s počatím? Čo vás čaká na ceste za dvomi čiarkami 1 170
  10. Leto nekončí! 835

Téma: Čo neviete o číslach


Hlavné správy zo Sme.sk

SVET

Slovensko inú možnosť ako jadro Únie nemá, Fico to vie

Krajiny bez eura budú strácať vplyv, Slovensko začína v regióne viesť debatu o budúcnosti EÚ.

DOMOV

Plavčan urobil nezvyčajnú vec. Oznámil Kiskovi, kedy končí

Fico naťahovanie času nekomentoval.

Neprehliadnite tiež

Nie je za tým len ideológia. Veda vysvetľuje, čo spraví z ľudí teroristov

Islamský štát prehrá, zhodujú sa vedci. Na otázku, či tým hrozba pominie, hovoria jednoznačné nie.

NASA má plán, ako zachrániť planétu pred výbuchom supersopky

Americký úrad navrhol spôsob, ako by sa dalo zachrániť ľudstvo.

Ako zanikla záhadná kultúra na Veľkonočnom ostrove

Polemika zástancov prudkého ekosociálneho rozvratu a pomalšie účinkujúcich vplyvov míňa podstatu. Pôsobilo oboje.