KRÁTKO O ČÍSLACH

Nekonečno, ktoré je väčšie ako iné nekonečno. Posledné číslo a čo o ňom (asi) neviete

Poslednú časť nášho seriálu o číslach a matematike ukončíme štýlovo. Čo už by bolo viac ako nekonečno?

(Zdroj: ILUSTRAČNÉ – Stephen J. Brooks/WIKIMEDIA/CC)

Nič nie je väčšie, pravdepodobne si poviete. Niektorí si pamätajú, že ten symbol ležatej osmičky (zápis pochádza zo 17. storočia od matematika Johna Wallisa) sa občas objavil pri rátaní s rôznymi písmenkami, možno vám dokonca napadne, že nulou by sme asi nemali deliť: lebo keď už nič iné, tak čokoľvek nad ničím je nekonečno (povie relatívne naivná predstava).

Ako to však s nekonečnom naozaj je? V prvom rade, aj keď sa to nezdá, nekonečno nie je jedno. Je to trochu neintuitívne tvrdenie, veď ako môže byť niečo viac nekonečno ako iné nekonečno? Nuž môže, v tomto prípade totiž čiastočne zlyháva naša intuícia a čiastočne to, ako používame náš jazyk.

Potenciálne a aktuálne

Dôležitá je myšlienka, s ktorou prišiel v 19. storočí česko-nemecký matematik a kňaz Bernard Bolzano. Podstatou jeho nápadu je, že nekonečno môže byť potenciálne a aktuálne.

Potenciálne je zhruba množinou, ktorá má síce konečný počet prvkov, no vždy k nej dokážete pridať nejaké ďalšie. Je to možné nekonečno, nekonečno, ku ktorému sa môžeme iba približovať (ale nie ho dosiahnuť) a jeho príkladom je trebárs priamka v euklidovskej geometrii. Ak predpokladáme, že nejaká takáto priamka má nekonečnú dĺžku, môžeme akúkoľvek úsečku v jednom či druhom smere predĺžiť tak, že sa k tomuto nekonečnu bude približovať.

Oveľa zaujímavejšie je však aktuálne nekonečno. A takéto nekonečno nie je, paradoxne, jedno.

Aktuálne nekonečno označuje skutočné nekonečno a aktuálne nekonečná množina je celkom, nie čímsi, k čomu sa chceme priblížiť. Nemusíme sa púšťať do sveta kardinálnych a ordinálnych čísel, ale aby sme mohli hovoriť o viacerých nekonečných, padnúť by mali mená ako Cantor, Frege či Dedekind. Kľúčom je pritom takzvaná mohutnosť množín a znamená zhruba počet prvkov danej množiny.

V prípade prirodzených čísel voláme mohutnosť takejto množiny alef nula. O inej množine by sme povedali, že má rovnakú mohutnosť ako množina prirodzených čísel, ak ku každému prvku z tejto množiny dokážeme priradiť iný prvok z množiny prirodzených čísel. Teda, je (rovnako) nekonečná.

To je paradoxné tvrdenie: asi by sme povedali, že racionálnych čísel (čísel, ktoré sa dajú vyjadriť zlomkom dvoch celých čísel) predsa musí byť viac ako prirodzených čísel (celých kladných čísel) – už len preto, že medzi trebárs jednotkou a dvojkou žiadne prirodzené číslo nie je, no racionálnych tam je hromada. Presnejšie, nekonečno.

Lenže platí, že súbory čísel je (matematicky) možné usporiadať tak, že ku každému racionálnemu číslu priradíte prirodzené, a naopak. A tak majú tieto množiny rovnaké mohutnosti.

To sa však nedá urobiť v prípade reálnych čísel. Reálne čísla nemožno takýmto jedno-jednoznačným spôsobom priradiť k prirodzeným číslam a preto ich aktuálne nekonečno bude iné.

Pravdupovediac, bude väčšie: výsledkom Cantorovej práce tak je, že jestvuje nekonečno, ktoré je (technicky) väčšie ako iné nekonečno. Alebo inak, jestvuje viac reálnych čísel ako prirodzených čísel.

Ako v dejinách?

Ako sme k myšlienke nekonečien vôbec prišli? V matematike to tak už býva, že na začiatku bola filozofia. Antickí Gréci, napríklad, s nekonečnom nerátali, bolo spočiatku skôr súčasťou ich filozofickej predstavy sveta.

Najbližšie sa však k matematickým operáciám v prípade Grékov dostal slávny Zenón z Eley – a asi všetci už počuli o jeho hlavolamoch (apóriách), napríklad o pretekoch Achilla a korytnačky.

Matematici však začali s nekonečnom systematicky pracovať až v spomínanom sedemnástom storočí vďaka práci Gottfrieda Wilhelma Leibniza a Johna Wallisa, ktorý prvý použil notáciu ležatej osmičky. Nekonečnom sa zaoberal aj slávny Leonhard Euler, ten však používal symbol i.

Za súčasné poznanie o nekonečných však vďačíme príchodu teórie množín.

Najčítanejšie na SME Tech


Inzercia - Tlačové správy


  1. 14 tipov na exotickú dovolenku, ktorú si môžete dovoliť (aj vy)
  2. Štatutári, máte už prístup k elektronickej schránke?
  3. Zabudnite na nové a neekologické PC. Je tu Refurbished!
  4. Volkswagen Arteon je výkladná skriňa technológií
  5. Yeme chce byť výnimočný obchod aj vďaka výnimočným zamestnancom
  6. Lepšie bývať na vidieku, alebo v meste? Hľadali sme výhody
  7. Poznáte pôvod slovenských slov? Otestujte sa
  8. Plavba po Karibiku na luxusnej lodi
  9. Hyundai H350 je dokonale spoľahlivým partnerom pre biznis
  10. Študenti majú na získanie 30 € ešte 20 dní
  1. Výrobky, ktoré chutia a voňajú ako z domácej zabíjačky
  2. 14 tipov na exotickú dovolenku, ktorú si môžete dovoliť (aj vy)
  3. Profesionálne sa predaj nehnuteľností dá robiť jedine exkluzívne
  4. HÝBSA Slovensko odštartovalo turné po Slovensku. Buďte pri tom!
  5. Každý štvrtý 70-tnik na Slovensku má cukrovku, pribúdajú mladší
  6. 5 hviezdičkové apartmány priamo na pobreží - Dubrovník
  7. Stavba domu na kľúč – úspora času aj financií
  8. Štatutári, máte už prístup k elektronickej schránke?
  9. Nová veľvyslankyňa Turecka na návšteve EU v Bratislave
  10. Prijatie delegácie rektorov ekonomických univerzít z Indonézie
  1. Poznáte pôvod slovenských slov? Otestujte sa 15 399
  2. Lepšie bývať na vidieku, alebo v meste? Hľadali sme výhody 10 521
  3. Plavba po Karibiku na luxusnej lodi 7 640
  4. Čím všetkým som si prešla, aby som sa naučila po anglicky 6 329
  5. Volkswagen Arteon je výkladná skriňa technológií 6 283
  6. Yeme chce byť výnimočný obchod aj vďaka výnimočným zamestnancom 5 786
  7. Hyundai H350 je dokonale spoľahlivým partnerom pre biznis 5 645
  8. Zabudnite na nové a neekologické PC. Je tu Refurbished! 4 479
  9. Domácnosť, ktorá šetrí sama? Aj u nás je to už realitou 4 343
  10. 14 tipov na exotickú dovolenku, ktorú si môžete dovoliť (aj vy) 4 110

Téma: Čo neviete o číslach


Hlavné správy zo Sme.sk

SVET

Američania obkľúčujú Severnú Kóreu. Tentoraz nejde o bluf

Pri Kórejskom polostrove sú dve americké lietadlové lode. Ďalšie môžu čoskoro pribudnúť.

KOMENTÁRE

Nová česká celebrita, hlúpa Mary a budúcnosť ľavosúdia (Schutzov týždeň)

Proti „ideám“ Sme rodina je šuvix aj nový „sociálny balík“ Smer-SNS-HíD.

DOMOV

Policajný odborár: Útočiť na ženu od chrbta nie je normálne

Policajti by mali mať kvalitnú výbavu.

KOMENTÁRE

Ťapákovci uvažujú o lapaní kotlebovcov

Kotlebovcom vraj percentá porastú. Tak radšej seďme a buďme.

Neprehliadnite tiež

Ak zmiznú z domácností autá, nebude treba ani garáže a parkovacie miesta

Uber a Lyft menia spotrebiteľské návyky, niektorí im veria tak ako vlastnému autu.

Tisíce chýb, ktoré môžu uhasiť život. Zdravotníci musia začať riešiť bezpečnosť

Má držať rytmus srdca, stačí však hackerský útok a kardiostimulátor môže zabíjať.

Na čom hrať hry? Na PC či konzolách?

Porovnávať má zmysel hlavne produkty najväčších hráčov na trhu, keďže herným počítačom dokážu plnohodnotne konkurovať iba konzoly od Sony a Microsoftu.

Odstránenie pazúrov u mačiek vedie k bolestiam a agresivite

Mnoho veterinárov sa od zákroku dištancuje a považuje ho za neetický.