KRÁTKO O ČÍSLACH

Nekonečno, ktoré je väčšie ako iné nekonečno. Posledné číslo a čo o ňom (asi) neviete

Poslednú časť nášho seriálu o číslach a matematike ukončíme štýlovo. Čo už by bolo viac ako nekonečno?

(Zdroj: ILUSTRAČNÉ – Stephen J. Brooks/WIKIMEDIA/CC)

Nič nie je väčšie, pravdepodobne si poviete. Niektorí si pamätajú, že ten symbol ležatej osmičky (zápis pochádza zo 17. storočia od matematika Johna Wallisa) sa občas objavil pri rátaní s rôznymi písmenkami, možno vám dokonca napadne, že nulou by sme asi nemali deliť: lebo keď už nič iné, tak čokoľvek nad ničím je nekonečno (povie relatívne naivná predstava).

Ako to však s nekonečnom naozaj je? V prvom rade, aj keď sa to nezdá, nekonečno nie je jedno. Je to trochu neintuitívne tvrdenie, veď ako môže byť niečo viac nekonečno ako iné nekonečno? Nuž môže, v tomto prípade totiž čiastočne zlyháva naša intuícia a čiastočne to, ako používame náš jazyk.

Potenciálne a aktuálne

Dôležitá je myšlienka, s ktorou prišiel v 19. storočí česko-nemecký matematik a kňaz Bernard Bolzano. Podstatou jeho nápadu je, že nekonečno môže byť potenciálne a aktuálne.

Potenciálne je zhruba množinou, ktorá má síce konečný počet prvkov, no vždy k nej dokážete pridať nejaké ďalšie. Je to možné nekonečno, nekonečno, ku ktorému sa môžeme iba približovať (ale nie ho dosiahnuť) a jeho príkladom je trebárs priamka v euklidovskej geometrii. Ak predpokladáme, že nejaká takáto priamka má nekonečnú dĺžku, môžeme akúkoľvek úsečku v jednom či druhom smere predĺžiť tak, že sa k tomuto nekonečnu bude približovať.

Oveľa zaujímavejšie je však aktuálne nekonečno. A takéto nekonečno nie je, paradoxne, jedno.

Aktuálne nekonečno označuje skutočné nekonečno a aktuálne nekonečná množina je celkom, nie čímsi, k čomu sa chceme priblížiť. Nemusíme sa púšťať do sveta kardinálnych a ordinálnych čísel, ale aby sme mohli hovoriť o viacerých nekonečných, padnúť by mali mená ako Cantor, Frege či Dedekind. Kľúčom je pritom takzvaná mohutnosť množín a znamená zhruba počet prvkov danej množiny.

V prípade prirodzených čísel voláme mohutnosť takejto množiny alef nula. O inej množine by sme povedali, že má rovnakú mohutnosť ako množina prirodzených čísel, ak ku každému prvku z tejto množiny dokážeme priradiť iný prvok z množiny prirodzených čísel. Teda, je (rovnako) nekonečná.

To je paradoxné tvrdenie: asi by sme povedali, že racionálnych čísel (čísel, ktoré sa dajú vyjadriť zlomkom dvoch celých čísel) predsa musí byť viac ako prirodzených čísel (celých kladných čísel) – už len preto, že medzi trebárs jednotkou a dvojkou žiadne prirodzené číslo nie je, no racionálnych tam je hromada. Presnejšie, nekonečno.

Lenže platí, že súbory čísel je (matematicky) možné usporiadať tak, že ku každému racionálnemu číslu priradíte prirodzené, a naopak. A tak majú tieto množiny rovnaké mohutnosti.

To sa však nedá urobiť v prípade reálnych čísel. Reálne čísla nemožno takýmto jedno-jednoznačným spôsobom priradiť k prirodzeným číslam a preto ich aktuálne nekonečno bude iné.

Pravdupovediac, bude väčšie: výsledkom Cantorovej práce tak je, že jestvuje nekonečno, ktoré je (technicky) väčšie ako iné nekonečno. Alebo inak, jestvuje viac reálnych čísel ako prirodzených čísel.

Ako v dejinách?

Ako sme k myšlienke nekonečien vôbec prišli? V matematike to tak už býva, že na začiatku bola filozofia. Antickí Gréci, napríklad, s nekonečnom nerátali, bolo spočiatku skôr súčasťou ich filozofickej predstavy sveta.

Najbližšie sa však k matematickým operáciám v prípade Grékov dostal slávny Zenón z Eley – a asi všetci už počuli o jeho hlavolamoch (apóriách), napríklad o pretekoch Achilla a korytnačky.

Matematici však začali s nekonečnom systematicky pracovať až v spomínanom sedemnástom storočí vďaka práci Gottfrieda Wilhelma Leibniza a Johna Wallisa, ktorý prvý použil notáciu ležatej osmičky. Nekonečnom sa zaoberal aj slávny Leonhard Euler, ten však používal symbol i.

Za súčasné poznanie o nekonečných však vďačíme príchodu teórie množín.

Najčítanejšie na SME Tech


Inzercia - Tlačové správy


  1. Hotovosť, internet či karta? Najbezpečnejšie je platenie mobilom
  2. Už ste niekedy jedli v garáži? Tá v Trenčíne stojí za to
  3. Staré Dobré Mexiko: Už vieme prečo východniari chvália Šariš
  4. Objavte netušené možnosti nových firemných kreditných kariet
  5. Najväčšie first moment zľavy končia vo februári
  6. Boj s podvodníkmi stáčajúcimi odometre stojí bazáre státisíce
  7. Bezpečné a prestížne bývanie v Bratislave s novým symbolom mesta
  8. Prečo majú Slováci stále radšej hypotéku ako prenájom?
  9. Jarné prázdniny pri mori?
  10. Klasickým gastrolístkom konkuruje už aj nová stravovacia karta
  1. Profesijný rast študentov médií sa začína už počas vysokej školy
  2. Paneurópska vysoká škola otvára špecializované kurzy IT
  3. Medzinárodná súťaž FIRST LEGO League na Fakulte informatiky PEVŠ
  4. S profesorom Michalom Miovským o prevencii závislostí
  5. Poslanci nevzdávajú boj proti herniam, chcú prísnu reguláciu
  6. Hotovosť, internet či karta? Najbezpečnejšie je platenie mobilom
  7. Mäsovýroba Gašparík získala ocenenie Danubius Gastro 2017
  8. Už ste niekedy jedli v garáži? Tá v Trenčíne stojí za to
  9. Staré Dobré Mexiko: Už vieme prečo východniari chvália Šariš
  10. Dokázali by ste nakúpiť so zavretými očami?
  1. Boj s podvodníkmi stáčajúcimi odometre stojí bazáre státisíce 9 769
  2. Hotovosť, internet či karta? Najbezpečnejšie je platenie mobilom 7 983
  3. Už ste niekedy jedli v garáži? Tá v Trenčíne stojí za to 7 217
  4. Najväčšie first moment zľavy končia vo februári 6 358
  5. Staré Dobré Mexiko: Už vieme prečo východniari chvália Šariš 6 330
  6. Prečo majú Slováci stále radšej hypotéku ako prenájom? 5 918
  7. Klasickým gastrolístkom konkuruje už aj nová stravovacia karta 4 627
  8. Ceny bytov vo veľkých mestách prekonali historický rekord 4 566
  9. Bezpečné a prestížne bývanie v Bratislave s novým symbolom mesta 4 457
  10. Jarné prázdniny pri mori? 2 863

Téma: Čo neviete o číslach


Hlavné správy zo Sme.sk

SVET

Keď už sa dostanete do štádia hladomoru, je príliš neskoro

OSN po šiestich rokoch znovu vyhlásila hladomor. Okrem Juhosudáncov môže byť v ohrození až dvadsať miliónov ľudí.

PLUS

Mnohí mlčia, on nie. Služba vlasti z neho spravila lovca ľudí

Tóth tvrdí, že si z vojenčiny priniesol domov traumu.

EKONOMIKA

Land Rover z Nitry budú rozvážať Nemci, Cargo neuspelo

Štátny prepravca rokuje s Deutsche Bahn Cargo.

Neprehliadnite tiež

Dolly pred dvadsiatimi rokmi otvorila cestu pre klony. Prečo nikdy neprišli?

Klonované zvieratá sa dnes používajú na výskum, ale aj na mäso.

Tancujúce lemury a najvzácnejšia kačka. Ako vyzerajú zvieratá, ktoré žijú iba na Madagaskare

Tri štvrtiny zo všetkých druhov na ostrove nežije nikde inde na svete.

Vytvorili prvú farbu na vlasy, ktorá dokáže meniť odtiene

Farby sa testujú pre komerčné použitie.

V Číne začínajú používať robotických policajtov

Kde treba šikovné oko a nie ruky pre zásah, tam hliadkujú roboty.


Už ste čítali?

Domov NajnovšieNajčítanejšieDesktop