KRÁTKO O ČÍSLACH

Nekonečno, ktoré je väčšie ako iné nekonečno. Posledné číslo a čo o ňom (asi) neviete

Poslednú časť nášho seriálu o číslach a matematike ukončíme štýlovo. Čo už by bolo viac ako nekonečno?

(Zdroj: ILUSTRAČNÉ – Stephen J. Brooks/WIKIMEDIA/CC)

Nič nie je väčšie, pravdepodobne si poviete. Niektorí si pamätajú, že ten symbol ležatej osmičky (zápis pochádza zo 17. storočia od matematika Johna Wallisa) sa občas objavil pri rátaní s rôznymi písmenkami, možno vám dokonca napadne, že nulou by sme asi nemali deliť: lebo keď už nič iné, tak čokoľvek nad ničím je nekonečno (povie relatívne naivná predstava).

Ako to však s nekonečnom naozaj je? V prvom rade, aj keď sa to nezdá, nekonečno nie je jedno. Je to trochu neintuitívne tvrdenie, veď ako môže byť niečo viac nekonečno ako iné nekonečno? Nuž môže, v tomto prípade totiž čiastočne zlyháva naša intuícia a čiastočne to, ako používame náš jazyk.

Potenciálne a aktuálne

Dôležitá je myšlienka, s ktorou prišiel v 19. storočí česko-nemecký matematik a kňaz Bernard Bolzano. Podstatou jeho nápadu je, že nekonečno môže byť potenciálne a aktuálne.

Potenciálne je zhruba množinou, ktorá má síce konečný počet prvkov, no vždy k nej dokážete pridať nejaké ďalšie. Je to možné nekonečno, nekonečno, ku ktorému sa môžeme iba približovať (ale nie ho dosiahnuť) a jeho príkladom je trebárs priamka v euklidovskej geometrii. Ak predpokladáme, že nejaká takáto priamka má nekonečnú dĺžku, môžeme akúkoľvek úsečku v jednom či druhom smere predĺžiť tak, že sa k tomuto nekonečnu bude približovať.

Oveľa zaujímavejšie je však aktuálne nekonečno. A takéto nekonečno nie je, paradoxne, jedno.

Aktuálne nekonečno označuje skutočné nekonečno a aktuálne nekonečná množina je celkom, nie čímsi, k čomu sa chceme priblížiť. Nemusíme sa púšťať do sveta kardinálnych a ordinálnych čísel, ale aby sme mohli hovoriť o viacerých nekonečných, padnúť by mali mená ako Cantor, Frege či Dedekind. Kľúčom je pritom takzvaná mohutnosť množín a znamená zhruba počet prvkov danej množiny.

V prípade prirodzených čísel voláme mohutnosť takejto množiny alef nula. O inej množine by sme povedali, že má rovnakú mohutnosť ako množina prirodzených čísel, ak ku každému prvku z tejto množiny dokážeme priradiť iný prvok z množiny prirodzených čísel. Teda, je (rovnako) nekonečná.

To je paradoxné tvrdenie: asi by sme povedali, že racionálnych čísel (čísel, ktoré sa dajú vyjadriť zlomkom dvoch celých čísel) predsa musí byť viac ako prirodzených čísel (celých kladných čísel) – už len preto, že medzi trebárs jednotkou a dvojkou žiadne prirodzené číslo nie je, no racionálnych tam je hromada. Presnejšie, nekonečno.

Lenže platí, že súbory čísel je (matematicky) možné usporiadať tak, že ku každému racionálnemu číslu priradíte prirodzené, a naopak. A tak majú tieto množiny rovnaké mohutnosti.

To sa však nedá urobiť v prípade reálnych čísel. Reálne čísla nemožno takýmto jedno-jednoznačným spôsobom priradiť k prirodzeným číslam a preto ich aktuálne nekonečno bude iné.

Pravdupovediac, bude väčšie: výsledkom Cantorovej práce tak je, že jestvuje nekonečno, ktoré je (technicky) väčšie ako iné nekonečno. Alebo inak, jestvuje viac reálnych čísel ako prirodzených čísel.

Ako v dejinách?

Ako sme k myšlienke nekonečien vôbec prišli? V matematike to tak už býva, že na začiatku bola filozofia. Antickí Gréci, napríklad, s nekonečnom nerátali, bolo spočiatku skôr súčasťou ich filozofickej predstavy sveta.

Najbližšie sa však k matematickým operáciám v prípade Grékov dostal slávny Zenón z Eley – a asi všetci už počuli o jeho hlavolamoch (apóriách), napríklad o pretekoch Achilla a korytnačky.

Matematici však začali s nekonečnom systematicky pracovať až v spomínanom sedemnástom storočí vďaka práci Gottfrieda Wilhelma Leibniza a Johna Wallisa, ktorý prvý použil notáciu ležatej osmičky. Nekonečnom sa zaoberal aj slávny Leonhard Euler, ten však používal symbol i.

Za súčasné poznanie o nekonečných však vďačíme príchodu teórie množín.

Najčítanejšie na SME Tech


Inzercia - Tlačové správy


  1. Najvýhodnejšie ročné online predplatné SME.sk len za 29€
  2. Nový supermarket Fresh otvorili na Aničke
  3. Aké sú gastrotrendy pre rok 2018?
  4. Chcete bývať na dobrom mieste? Zakotvite v Adlerovej!
  5. Egejská riviéra: Ktoré letovisko je pre vás najlepšie?
  6. Slovensko má pralesy, púšť aj kameňopád. Už ste ich videli?
  7. Volkswagen T-Roc: Pre nerozhodných
  8. Leto 2018 v Grécku s odletom z Bratislavy
  9. Dlhopisy 7,25 % p.a. majú najvýhodnejšiu nákupnú cenu v roku
  10. Zelené Grunty vám ponúknu viac, ako očakávate
  1. Najvýhodnejšie ročné online predplatné SME.sk len za 29€
  2. Nový supermarket Fresh otvorili na Aničke
  3. Attracting talent – Why Millennials are choosing to join Johnson
  4. Aké sú gastrotrendy pre rok 2018?
  5. Chcete bývať na dobrom mieste? Zakotvite v Adlerovej!
  6. Alarica – new business project in the market of shoes
  7. Ako jazdiť na snehu alebo ľade?
  8. Egejská riviéra: Ktoré letovisko je pre vás najlepšie?
  9. Slovensko má pralesy, púšť aj kameňopád. Už ste ich videli?
  10. Toto tajomstvo vrcholoví športovci dlho skrývali
  1. Egejská riviéra: Ktoré letovisko je pre vás najlepšie? 9 014
  2. Slovensko má pralesy, púšť aj kameňopád. Už ste ich videli? 7 098
  3. Volkswagen T-Roc: Pre nerozhodných 3 060
  4. Nový supermarket Fresh otvorili na Aničke 2 244
  5. Leto 2018 v Grécku s odletom z Bratislavy 2 076
  6. Chcete bývať na dobrom mieste? Zakotvite v Adlerovej! 1 839
  7. Kam do tepla v januári? 1 573
  8. Dlhopisy 7,25 % p.a. majú najvýhodnejšiu nákupnú cenu v roku 1 414
  9. Aké sú gastrotrendy pre rok 2018? 1 379
  10. Najvýhodnejšie ročné online predplatné SME.sk len za 29€ 997

Téma: Čo neviete o číslach


Hlavné správy zo Sme.sk

PLUS

Je z trinástich detí a nikto mu neveril. Dnes láme rekordy

Hovoria o ňom ako o novom Matejovi Tóthovi. Sedemnásťročný Daniel Kováč však musel dokázať, že nie je feťák a so športom to myslí vážne.

DOMOV

Trebišov, mesto syfilisu. Už osem rokov sa mu nedarí nad chorobou zvíťaziť

Syfilis šíria nezriedka detské prostitútky.

ŠPORT

Kuzminovej brat Anton Šipulin nebude môcť štartovať na ZOH

Infomovala spravodajská agentúra RIA.

KOMENTÁRE

Urazili ste môjho priateľa, pán premiér

Viem, nemenovali ste ho. Ale označili ste ho jeho náboženským vyznaním.

Neprehliadnite tiež

Po prvý raz zmapovali zmysly rastlín. Už vieme ako cítia

Namiesto zmyslových orgánov využívajú proteíny. Bez niektorých sa všetko zrúti.

Fyzikálna záhada. Neutrónové hviezdy svietia aj po zrážke

Dosvit po zrážke neutrónových hviezd je čoraz jasnejší, vyvracia očakávania.

V NASA prestali pracovať. Musk musel odložiť test rakety

Američanom sa nepodarilo schváliť štátny rozpočet. Kennedyho vesmírne stredisko prestáva pracovať.

Obchod bez radov a pokladní. Otvorili prvý Amazon Go

Obchod využíva rovnaké technológie ako autonómne autá.