KRÁTKO O ČÍSLACH

Nekonečno, ktoré je väčšie ako iné nekonečno. Posledné číslo a čo o ňom (asi) neviete

Poslednú časť nášho seriálu o číslach a matematike ukončíme štýlovo. Čo už by bolo viac ako nekonečno?

(Zdroj: ILUSTRAČNÉ – Stephen J. Brooks/WIKIMEDIA/CC)

Nič nie je väčšie, pravdepodobne si poviete. Niektorí si pamätajú, že ten symbol ležatej osmičky (zápis pochádza zo 17. storočia od matematika Johna Wallisa) sa občas objavil pri rátaní s rôznymi písmenkami, možno vám dokonca napadne, že nulou by sme asi nemali deliť: lebo keď už nič iné, tak čokoľvek nad ničím je nekonečno (povie relatívne naivná predstava).

Ako to však s nekonečnom naozaj je? V prvom rade, aj keď sa to nezdá, nekonečno nie je jedno. Je to trochu neintuitívne tvrdenie, veď ako môže byť niečo viac nekonečno ako iné nekonečno? Nuž môže, v tomto prípade totiž čiastočne zlyháva naša intuícia a čiastočne to, ako používame náš jazyk.

Článok pokračuje pod video reklamou

Potenciálne a aktuálne

Dôležitá je myšlienka, s ktorou prišiel v 19. storočí česko-nemecký matematik a kňaz Bernard Bolzano. Podstatou jeho nápadu je, že nekonečno môže byť potenciálne a aktuálne.

Potenciálne je zhruba množinou, ktorá má síce konečný počet prvkov, no vždy k nej dokážete pridať nejaké ďalšie. Je to možné nekonečno, nekonečno, ku ktorému sa môžeme iba približovať (ale nie ho dosiahnuť) a jeho príkladom je trebárs priamka v euklidovskej geometrii. Ak predpokladáme, že nejaká takáto priamka má nekonečnú dĺžku, môžeme akúkoľvek úsečku v jednom či druhom smere predĺžiť tak, že sa k tomuto nekonečnu bude približovať.

Oveľa zaujímavejšie je však aktuálne nekonečno. A takéto nekonečno nie je, paradoxne, jedno.

Aktuálne nekonečno označuje skutočné nekonečno a aktuálne nekonečná množina je celkom, nie čímsi, k čomu sa chceme priblížiť. Nemusíme sa púšťať do sveta kardinálnych a ordinálnych čísel, ale aby sme mohli hovoriť o viacerých nekonečných, padnúť by mali mená ako Cantor, Frege či Dedekind. Kľúčom je pritom takzvaná mohutnosť množín a znamená zhruba počet prvkov danej množiny.

V prípade prirodzených čísel voláme mohutnosť takejto množiny alef nula. O inej množine by sme povedali, že má rovnakú mohutnosť ako množina prirodzených čísel, ak ku každému prvku z tejto množiny dokážeme priradiť iný prvok z množiny prirodzených čísel. Teda, je (rovnako) nekonečná.

To je paradoxné tvrdenie: asi by sme povedali, že racionálnych čísel (čísel, ktoré sa dajú vyjadriť zlomkom dvoch celých čísel) predsa musí byť viac ako prirodzených čísel (celých kladných čísel) – už len preto, že medzi trebárs jednotkou a dvojkou žiadne prirodzené číslo nie je, no racionálnych tam je hromada. Presnejšie, nekonečno.

Lenže platí, že súbory čísel je (matematicky) možné usporiadať tak, že ku každému racionálnemu číslu priradíte prirodzené, a naopak. A tak majú tieto množiny rovnaké mohutnosti.

To sa však nedá urobiť v prípade reálnych čísel. Reálne čísla nemožno takýmto jedno-jednoznačným spôsobom priradiť k prirodzeným číslam a preto ich aktuálne nekonečno bude iné.

Pravdupovediac, bude väčšie: výsledkom Cantorovej práce tak je, že jestvuje nekonečno, ktoré je (technicky) väčšie ako iné nekonečno. Alebo inak, jestvuje viac reálnych čísel ako prirodzených čísel.

Ako v dejinách?

Ako sme k myšlienke nekonečien vôbec prišli? V matematike to tak už býva, že na začiatku bola filozofia. Antickí Gréci, napríklad, s nekonečnom nerátali, bolo spočiatku skôr súčasťou ich filozofickej predstavy sveta.

Najbližšie sa však k matematickým operáciám v prípade Grékov dostal slávny Zenón z Eley – a asi všetci už počuli o jeho hlavolamoch (apóriách), napríklad o pretekoch Achilla a korytnačky.

Matematici však začali s nekonečnom systematicky pracovať až v spomínanom sedemnástom storočí vďaka práci Gottfrieda Wilhelma Leibniza a Johna Wallisa, ktorý prvý použil notáciu ležatej osmičky. Nekonečnom sa zaoberal aj slávny Leonhard Euler, ten však používal symbol i.

Za súčasné poznanie o nekonečných však vďačíme príchodu teórie množín.

Chcete dostať upozornenie na najnovší článok tohto autora?
Objednajte si notifikáciu priamo na váš e-mail.
Odoberať autora na email

Najčítanejšie na SME Tech

Inzercia - Tlačové správy

  1. Infografika: Slováci minuli na Pohode historicky najviac peňazí
  2. Šesť dôvodov, prečo sa oplatí cestovať do Ruska
  3. Špeciálna príloha: Krížovky na leto
  4. S kreditkou začína pohodová dovolenka už na letisku
  5. Zmrzlina v Mekáči má u nás kratšiu záruku ako v Rakúsku. Prečo?
  6. Aká je ideálna vlhkosť a teplota v byte? Výskum hovorí jasne
  7. Veríte brusniciam pri zápaloch močových ciest? Nemusia stačiť
  8. Vyberiete si radšej romantický Paríž alebo slnečné Nice?
  9. Dobrú chuť: Letné šaláty a bizarné praktiky food fotografie
  10. O asistovanej reprodukcii sa šíri množstvo zavádzajúcich tvrdení
  1. Šesť dôvodov, prečo sa oplatí cestovať do Ruska
  2. Špeciálna príloha: Krížovky na leto
  3. Najpredávanejšou jazdenkou v tuzemsku bola Škoda Octavia
  4. GOPASS-dovolenka, ktorá sa oplatí
  5. OMV robí dovolenku pre vodičov oddychom
  6. OMV robí dovolenku pre vodičov oddychom
  7. S kreditkou začína pohodová dovolenka už na letisku
  8. Zmrzlina v Mekáči má u nás kratšiu záruku ako v Rakúsku. Prečo?
  9. Dubravské Čerešne majú sladké prekvapenie pre najrýchlejších!
  10. Aká je ideálna vlhkosť a teplota v byte? Výskum hovorí jasne
  1. Aká je ideálna vlhkosť a teplota v byte? Výskum hovorí jasne 29 375
  2. Infografika: Slováci minuli na Pohode historicky najviac peňazí 21 144
  3. Zmrzlina v Mekáči má u nás kratšiu záruku ako v Rakúsku. Prečo? 19 966
  4. Dobrú chuť: Letné šaláty a bizarné praktiky food fotografie 13 673
  5. Vyberiete si radšej romantický Paríž alebo slnečné Nice? 9 306
  6. Veríte brusniciam pri zápaloch močových ciest? Nemusia stačiť 3 968
  7. O asistovanej reprodukcii sa šíri množstvo zavádzajúcich tvrdení 3 763
  8. Pivovar Šariš rozdá tisíce eur, o časti peňazí rozhodnú ľudia 3 068
  9. Dubravské Čerešne majú sladké prekvapenie pre najrýchlejších! 2 010
  10. Ulovte si last minute dovolenku so zľavou do 70% 1 943

Téma: Čo neviete o číslach


Hlavné správy zo Sme.sk

DOMOV

Techniku zo základne v Dolnej Krupej žiada ministerstvo vrátiť

Čo robia Noční vlci v Dolnej Krupej.

DOBRÉ RÁNO

Dobré ráno: V RTVS môže byť ohrozené vysielanie správ

Ľudia v spravodajstve končia, spor o verejnoprávnosť pokračuje.

Stĺpček Jakuba Fila

Ešte sa chceme tváriť, že vlci sú len zvedaví turisti a branci iba obľubujú pohyb?

Tajné služby o Nočných vlkoch mlčia.

Neprehliadnite tiež

V Egypte objavili dielňu na výrobu keramiky starú vyše štyritisíc rokov

Archeológovia vo vnútri objavili staroveký hrnčiarsky kruh.

PODCAST ZOOM

Zoom: Ako hoax spravil z ľavicových antiglobalistov migrantov

Nie je to síce pravda, ale mohla by byť.

Záhadný sarkofág otvoria. Koho v ňom nenájdu?

Je niekoľko indícii o pôvode sarkofágu.