KRÁTKO O ČÍSLACH

Nekonečno, ktoré je väčšie ako iné nekonečno. Posledné číslo a čo o ňom (asi) neviete

Poslednú časť nášho seriálu o číslach a matematike ukončíme štýlovo. Čo už by bolo viac ako nekonečno?

(Zdroj: ILUSTRAČNÉ – Stephen J. Brooks/WIKIMEDIA/CC)

Nič nie je väčšie, pravdepodobne si poviete. Niektorí si pamätajú, že ten symbol ležatej osmičky (zápis pochádza zo 17. storočia od matematika Johna Wallisa) sa občas objavil pri rátaní s rôznymi písmenkami, možno vám dokonca napadne, že nulou by sme asi nemali deliť: lebo keď už nič iné, tak čokoľvek nad ničím je nekonečno (povie relatívne naivná predstava).

Ako to však s nekonečnom naozaj je? V prvom rade, aj keď sa to nezdá, nekonečno nie je jedno. Je to trochu neintuitívne tvrdenie, veď ako môže byť niečo viac nekonečno ako iné nekonečno? Nuž môže, v tomto prípade totiž čiastočne zlyháva naša intuícia a čiastočne to, ako používame náš jazyk.

Potenciálne a aktuálne

Dôležitá je myšlienka, s ktorou prišiel v 19. storočí česko-nemecký matematik a kňaz Bernard Bolzano. Podstatou jeho nápadu je, že nekonečno môže byť potenciálne a aktuálne.

Potenciálne je zhruba množinou, ktorá má síce konečný počet prvkov, no vždy k nej dokážete pridať nejaké ďalšie. Je to možné nekonečno, nekonečno, ku ktorému sa môžeme iba približovať (ale nie ho dosiahnuť) a jeho príkladom je trebárs priamka v euklidovskej geometrii. Ak predpokladáme, že nejaká takáto priamka má nekonečnú dĺžku, môžeme akúkoľvek úsečku v jednom či druhom smere predĺžiť tak, že sa k tomuto nekonečnu bude približovať.

Oveľa zaujímavejšie je však aktuálne nekonečno. A takéto nekonečno nie je, paradoxne, jedno.

Aktuálne nekonečno označuje skutočné nekonečno a aktuálne nekonečná množina je celkom, nie čímsi, k čomu sa chceme priblížiť. Nemusíme sa púšťať do sveta kardinálnych a ordinálnych čísel, ale aby sme mohli hovoriť o viacerých nekonečných, padnúť by mali mená ako Cantor, Frege či Dedekind. Kľúčom je pritom takzvaná mohutnosť množín a znamená zhruba počet prvkov danej množiny.

V prípade prirodzených čísel voláme mohutnosť takejto množiny alef nula. O inej množine by sme povedali, že má rovnakú mohutnosť ako množina prirodzených čísel, ak ku každému prvku z tejto množiny dokážeme priradiť iný prvok z množiny prirodzených čísel. Teda, je (rovnako) nekonečná.

To je paradoxné tvrdenie: asi by sme povedali, že racionálnych čísel (čísel, ktoré sa dajú vyjadriť zlomkom dvoch celých čísel) predsa musí byť viac ako prirodzených čísel (celých kladných čísel) – už len preto, že medzi trebárs jednotkou a dvojkou žiadne prirodzené číslo nie je, no racionálnych tam je hromada. Presnejšie, nekonečno.

Lenže platí, že súbory čísel je (matematicky) možné usporiadať tak, že ku každému racionálnemu číslu priradíte prirodzené, a naopak. A tak majú tieto množiny rovnaké mohutnosti.

To sa však nedá urobiť v prípade reálnych čísel. Reálne čísla nemožno takýmto jedno-jednoznačným spôsobom priradiť k prirodzeným číslam a preto ich aktuálne nekonečno bude iné.

Pravdupovediac, bude väčšie: výsledkom Cantorovej práce tak je, že jestvuje nekonečno, ktoré je (technicky) väčšie ako iné nekonečno. Alebo inak, jestvuje viac reálnych čísel ako prirodzených čísel.

Ako v dejinách?

Ako sme k myšlienke nekonečien vôbec prišli? V matematike to tak už býva, že na začiatku bola filozofia. Antickí Gréci, napríklad, s nekonečnom nerátali, bolo spočiatku skôr súčasťou ich filozofickej predstavy sveta.

Najbližšie sa však k matematickým operáciám v prípade Grékov dostal slávny Zenón z Eley – a asi všetci už počuli o jeho hlavolamoch (apóriách), napríklad o pretekoch Achilla a korytnačky.

Matematici však začali s nekonečnom systematicky pracovať až v spomínanom sedemnástom storočí vďaka práci Gottfrieda Wilhelma Leibniza a Johna Wallisa, ktorý prvý použil notáciu ležatej osmičky. Nekonečnom sa zaoberal aj slávny Leonhard Euler, ten však používal symbol i.

Za súčasné poznanie o nekonečných však vďačíme príchodu teórie množín.

Najčítanejšie na SME Tech


Inzercia - Tlačové správy


  1. Kedy sa refinancovanie oplatí?
  2. Plug-in, hybrid alebo elektromobil? Poradíme, ako správne vybrať
  3. Bývajte v budove, po ktorej sa prechádzal Schöne Náci
  4. Trenčania to chcú mať všade blízko. Kde kupujú byty?
  5. ENGIE Services odovzdala do prevádzky novú kotolňu v Košiciach
  6. Poistenci VšZP už nebudú platiť 17 centov v lekárňach za recepty
  7. Žilina Voce Magna 2017 – Medzinárodná súťaž zborového umenia
  8. Lokalita pod Kolibou výrazne mení svoju tvár
  9. Exotické destinácie s priamym letom z Viedne
  10. Potraviny typické pre váš región nájdete už aj v Kauflande
  1. Slovenské mestá môžu využiť eurofondy na zelené strechy
  2. Plug-in, hybrid alebo elektromobil? Poradíme, ako správne vybrať
  3. Program obnovy chodníkov v Starom Meste schválený
  4. Stavebná fakulta STU získala certifikát EUR-ACE
  5. Stavebná fakulta STU získala certifikát EUR-ACE
  6. Príďte na Deň otvorených dverí v Novom Ružinove
  7. Študenti sa rozhodli zmeniť svoju školu
  8. Kedy sa refinancovanie oplatí?
  9. Bývajte v budove, po ktorej sa prechádzal Schöne Náci
  10. Samsung Galaxy Note8 umožňuje tvoriť veľké veci
  1. Poistenci VšZP už nebudú platiť 17 centov v lekárňach za recepty 9 306
  2. Exotické destinácie s priamym letom z Viedne 4 730
  3. Lokalita pod Kolibou výrazne mení svoju tvár 2 994
  4. Trenčania to chcú mať všade blízko. Kde kupujú byty? 2 614
  5. Plug-in, hybrid alebo elektromobil? Poradíme, ako správne vybrať 1 767
  6. Potraviny typické pre váš región nájdete už aj v Kauflande 1 578
  7. Zabudnite na nové a neekologické PC. Je tu Refurbished! 1 556
  8. Kedy sa refinancovanie oplatí? 1 217
  9. Bývajte v budove, po ktorej sa prechádzal Schöne Náci 1 214
  10. Päť mýtov, ktoré ste počuli. A možno aj uverili 1 142

Téma: Čo neviete o číslach


Hlavné správy zo Sme.sk

KOMENTÁRE

Ficovi nestačila porážka Danka, potreboval ho úplne zosmiešniť

Čo by Fico nesmel urobiť, ak by postupoval podľa ústavy.

KOMENTÁRE

Zosmiešnil Trump seba či rovno Ameriku?

Lídri Činy, Ruska a Nemecka si Trumpovu reč v OSN neprišli ani vypočuť.

BLOG CAFÉ EURÓPA

Café Európa: Ako dobehnúť západné platy v EÚ?

Môže sa sociálna úroveň medzi východom a západom priblížiť?

Neprehliadnite tiež

Geológ: Ochladili Zem a vyhubili ľudí. Našu planétu čaká supererupcia

Výbuch supervulkánu by bol aj dnes katastrofický, hovorí geochronológ Martin Danišík, ktorý publikoval v prestížnom vedeckom časopise.

Klimatológovia: Hurikány spôsobili tento rok najdrahšie škody v histórii

Čo hovoria odborníci na tohtoročnú rekordnú sezónu hurikánov.

Google začal linkovať adresy a telefónne čísla

Ak často prepisujete v mobile kontaktné údaje, už to nebudete musieť opakovať.

Bezdrôtové nabíjanie už funguje aj bez podložiek a stojanov

S mobilom môžete pracovať aj pri nabíjaní. Stačí ak si s ním sadnete k stolu.