KRÁTKO O ČÍSLACH

Nekonečno, ktoré je väčšie ako iné nekonečno. Posledné číslo a čo o ňom (asi) neviete

Poslednú časť nášho seriálu o číslach a matematike ukončíme štýlovo. Čo už by bolo viac ako nekonečno?

(Zdroj: ILUSTRAČNÉ – Stephen J. Brooks/WIKIMEDIA/CC)

Nič nie je väčšie, pravdepodobne si poviete. Niektorí si pamätajú, že ten symbol ležatej osmičky (zápis pochádza zo 17. storočia od matematika Johna Wallisa) sa občas objavil pri rátaní s rôznymi písmenkami, možno vám dokonca napadne, že nulou by sme asi nemali deliť: lebo keď už nič iné, tak čokoľvek nad ničím je nekonečno (povie relatívne naivná predstava).

Ako to však s nekonečnom naozaj je? V prvom rade, aj keď sa to nezdá, nekonečno nie je jedno. Je to trochu neintuitívne tvrdenie, veď ako môže byť niečo viac nekonečno ako iné nekonečno? Nuž môže, v tomto prípade totiž čiastočne zlyháva naša intuícia a čiastočne to, ako používame náš jazyk.

Potenciálne a aktuálne

Dôležitá je myšlienka, s ktorou prišiel v 19. storočí česko-nemecký matematik a kňaz Bernard Bolzano. Podstatou jeho nápadu je, že nekonečno môže byť potenciálne a aktuálne.

Potenciálne je zhruba množinou, ktorá má síce konečný počet prvkov, no vždy k nej dokážete pridať nejaké ďalšie. Je to možné nekonečno, nekonečno, ku ktorému sa môžeme iba približovať (ale nie ho dosiahnuť) a jeho príkladom je trebárs priamka v euklidovskej geometrii. Ak predpokladáme, že nejaká takáto priamka má nekonečnú dĺžku, môžeme akúkoľvek úsečku v jednom či druhom smere predĺžiť tak, že sa k tomuto nekonečnu bude približovať.

Oveľa zaujímavejšie je však aktuálne nekonečno. A takéto nekonečno nie je, paradoxne, jedno.

Aktuálne nekonečno označuje skutočné nekonečno a aktuálne nekonečná množina je celkom, nie čímsi, k čomu sa chceme priblížiť. Nemusíme sa púšťať do sveta kardinálnych a ordinálnych čísel, ale aby sme mohli hovoriť o viacerých nekonečných, padnúť by mali mená ako Cantor, Frege či Dedekind. Kľúčom je pritom takzvaná mohutnosť množín a znamená zhruba počet prvkov danej množiny.

V prípade prirodzených čísel voláme mohutnosť takejto množiny alef nula. O inej množine by sme povedali, že má rovnakú mohutnosť ako množina prirodzených čísel, ak ku každému prvku z tejto množiny dokážeme priradiť iný prvok z množiny prirodzených čísel. Teda, je (rovnako) nekonečná.

To je paradoxné tvrdenie: asi by sme povedali, že racionálnych čísel (čísel, ktoré sa dajú vyjadriť zlomkom dvoch celých čísel) predsa musí byť viac ako prirodzených čísel (celých kladných čísel) – už len preto, že medzi trebárs jednotkou a dvojkou žiadne prirodzené číslo nie je, no racionálnych tam je hromada. Presnejšie, nekonečno.

Lenže platí, že súbory čísel je (matematicky) možné usporiadať tak, že ku každému racionálnemu číslu priradíte prirodzené, a naopak. A tak majú tieto množiny rovnaké mohutnosti.

To sa však nedá urobiť v prípade reálnych čísel. Reálne čísla nemožno takýmto jedno-jednoznačným spôsobom priradiť k prirodzeným číslam a preto ich aktuálne nekonečno bude iné.

Pravdupovediac, bude väčšie: výsledkom Cantorovej práce tak je, že jestvuje nekonečno, ktoré je (technicky) väčšie ako iné nekonečno. Alebo inak, jestvuje viac reálnych čísel ako prirodzených čísel.

Ako v dejinách?

Ako sme k myšlienke nekonečien vôbec prišli? V matematike to tak už býva, že na začiatku bola filozofia. Antickí Gréci, napríklad, s nekonečnom nerátali, bolo spočiatku skôr súčasťou ich filozofickej predstavy sveta.

Najbližšie sa však k matematickým operáciám v prípade Grékov dostal slávny Zenón z Eley – a asi všetci už počuli o jeho hlavolamoch (apóriách), napríklad o pretekoch Achilla a korytnačky.

Matematici však začali s nekonečnom systematicky pracovať až v spomínanom sedemnástom storočí vďaka práci Gottfrieda Wilhelma Leibniza a Johna Wallisa, ktorý prvý použil notáciu ležatej osmičky. Nekonečnom sa zaoberal aj slávny Leonhard Euler, ten však používal symbol i.

Za súčasné poznanie o nekonečných však vďačíme príchodu teórie množín.

Najčítanejšie na SME Tech


Inzercia - Tlačové správy


  1. Slovenské deti dostávajú mesačne 22€
  2. 3 pravidlá pre lepší dôchodok
  3. Čerešne - miesto, kde môžete žiť podľa seba
  4. 4 rady pre deti a dospelých, ako sa starať o pokožku
  5. Výstava Podoby lásky zobrazí skutočné osudy konkrétnych žien
  6. Tohtoročné trhy pred Auparkom bude otvárať Vidiek
  7. Vyrábajú v malom, no presadili sa. Sessler a Farmárske lupienky
  8. Všetky okresy svojimi pobočkami pokrývajú len tri banky
  9. Ochráňte pred zlodejmi celé vozidlo vďaka VAM Akustik
  10. V tomto roku si už konečne užijem Vianoce bez vrások
  1. 4 rady pre deti a dospelých, ako sa starať o pokožku
  2. Výstava Podoby lásky zobrazí skutočné osudy konkrétnych žien
  3. Tohtoročné trhy pred Auparkom bude otvárať Vidiek
  4. Všetky okresy svojimi pobočkami pokrývajú len tri banky
  5. Ochráňte pred zlodejmi celé vozidlo vďaka VAM Akustik
  6. Čerešne - miesto, kde môžete žiť podľa seba
  7. Nová michalovská nemocnica otvorí brány: toto musíte vidieť!
  8. Vyrábajú v malom, no presadili sa. Sessler a Farmárske lupienky
  9. Mladí vodiči preferujú čoraz silnejšie autá
  10. Ako sa zbaviť chladnej podlahy
  1. Vyrábajú v malom, no presadili sa. Sessler a Farmárske lupienky 14 291
  2. 3 pravidlá pre lepší dôchodok 9 651
  3. Slovenské deti dostávajú mesačne 22€ 4 436
  4. Stavba domu na kľúč – úspora času aj financií 3 603
  5. Ako sa zbaviť chladnej podlahy 2 941
  6. Moskva alebo Petrohrad? 2 270
  7. VW Tiguan Allspace: prvé sedemmiestne SUV od Volkswagnu 2 146
  8. Ako pracujú poisťováci? Dostali sme sa medzi nich 1 929
  9. Online analýza spotreby elektriny vám pomôže ušetriť 1 792
  10. Nepríjemná bolesť. Tu sú 3 rady, ako sa jej zbavíte 1 623

Téma: Čo neviete o číslach


Hlavné správy zo Sme.sk

DOMOV

Na náramok treba myslieť, Rusko nemôže zájsť ani na viedenské vianočné trhy

Pavol Rusko je siedmym občanom, ktorý dostal monitorovací náramok bez odsúdenia.

DOMOV

Danko v dume dvoril Rusom, keď prekrúcajú ´68, mlčí

Danko je absolútne mimo reality, ohodnotil proruský sentiment politológ.

Neprehliadnite tiež

DETSKÁ RUBRIKA

Križiak pásavý je rád, keď pri párení príde iba o nohu

Jednu končatinu zvyknú samce oželieť, vidina záchrany ich motivuje a predsa len im zostane ešte ďalších sedem nôh.

Krachujúcim hudobníkom môže pomôcť veda. Ukázala, ako zmeniť vkus ľudí

Výskumníci dokonca ovplyvnili, akú sumu boli dobrovoľníci ochotní minúť za hudbu.

Google priznal zber údajov o polohe, aj keď bola vypnutá

Polohu vedel zistiť aj vtedy, ak zariadenie nemalo kartu SIM.

Intel predával roky čipy, ktoré majú bezpečnostné nedostatky

Hackeri môžu vďaka bezpečnostnej diere získať kontrolu nad počítačom.