ČO NEVIETE O ČÍSLACH

Pí, e aj zlatý rez. Tri čudné čísla a čo o nich (asi) neviete

Aké číslo nedokážeme ani v súčasnosti vyrátať? A koľko peňazí vám dá banka, keby ste mohli získavať úroky nekonečne často? Spoznajte tri písmená, ktoré sú kľúčovými číslami.

Zlaté rezy.(Zdroj: Eric S./Flickr/CC)

φ alebo zlatý rez

Ak by niekto napísal číslo zhruba 1,618033..., asi by ste to za príliš dôležité nepovažovali. Zrejme však zbystríte pri zmienke o takzvanom zlatom reze.

Jeho pôvod, presnejšie jeho poznanie by sme vystopovali až kdesi do gréckej antiky a pre západný svet ho znovu objavila talianska renesancia. Je to pomer, ktorý sa často vyskytuje v prírode a nám – aspoň v európskej tradícii – sa zdá krásny. Stačí sa pozrieť na komponovanie fotografií či obrazov.

To však platí nielen pre prírodu či naše vnímanie, no aj pre matematiku. Nájdete ho, napríklad, pri slávnej Fibonacciho postupnosti. Konkrétne platí, že pomer medzi dvomi číslami v tejto postupnosti (1,1,2,3,5,8,13,...) sa v limite blíži práve k zlatému rezu. A keďže pri mnoho veciach v prírode – napríklad pri počte okvetných lístkov kvetín v prírode – narazíte práve na takúto postupnosť, znovu ste pri „božskom“ čísle.

Pre zlatý rez platí rovnica, že φ2= φ + 1. Vo svete obdĺžnikov zase to, že obdĺžnik so stranami v pomere zlatého rezu možno rozdeliť na štvorec a ďalší obdĺžnik so stranami v pomere zlatého rezu. A takto je možné postupovať donekonečna.

e alebo Eulerovo číslo

Hodnota ďalšieho zvláštneho písmenka vo svete čísel je zhruba 2,7182818... a prezýva sa niekedy aj Napierova konštanta či základ prirodzených logaritmov. A je to dôležitá konštanta, pretože „e“ je jedno z najdôležitejších čísel v matematike. Namiesto vcelku zložitých aplikácii je však extrémne zaujímavé zistiť, kde sa objaví.

Predstavte si, že si do banky vložíte euro. Ak máte stopercentný ročný úrok (niežeby taká banka jestvovala), po roku budete mať eurá dve – pretože 1x(1+1,00). Ak by sa ale úročilo každý polrok, tak z pôvodného eura budete mať na konci roka 2,25 eura – pretože 1x(1+1,00/2)x(1+1,00/2)=1x(1+1,00/2)2=2,25. Ak budete skracovať intervaly úročenia, postupne sa budete približovať k istému číslu. Ak by boli intervaly úročenia nekonečne malé, výsledkom by bolo práve Eulerovo číslo.

Toto číslo sa prvý raz objavilo začiatkom 17. storočia v práci škótskeho matematika Johna Napiera. Presnejšie, konštanta sa tam neobjavila priamo – práca vtedy obsahovala skupiny logaritmov, ktoré boli vyrátané vďaka tejto konštante.

Predpokladá sa však, že samotné objavenie čísla možno pripísať Jacobovi zo slávnej rodiny Bernoulliovcov. A napokon (po rokoch, v ktorých sa konštanta označovala písmenkom „b“) prišiel v novembri v roku 1731 Leonhard Euler a zaviedol písmenko „e“.

Keby sme mali napísať, kde všade sa e používa, mohli by sme rovno napísať knihy. Ale nájdete to trebárs tu.

pí alebo Ludolfovo číslo

Keby sme chceli zistiť, kde sa prvý raz objavilo práve pí, asi by sme sa museli pozrieť veľmi hlboko do minulosti. Predpokladá sa totiž, že vedomosť o ňom mali už starovekí Egypťania, keďže toto číslo možno vysledovať pri ich pyramídach.

Zároveň však platí, že sa Egypťania podobne ako Babylončania snažili k matematickej hodnote pí aspoň priblížiť (a to sa bavíme o období až niekedy dvetisíc rokov pred našim letopočtom). Bližšie sa zhruba o jeden a pol tisícročia neskôr dostali Indovia.

Čo by to však bolo za zásadné číslo matematiky, pri ktorom by sme nenarazili na antických Grékov. Napríklad Archimedes vymyslel spôsob (dnes by sme to nazvali algoritmus), ako sa k hodnote pí dosať. Používal vpísané a opísané geometrické útvary (začínal šesťuholníkmi a počet uhlov útvarov zdvojnásoboval) okolo kruhu, aby dokázal zistiť jeho obvod.

Tým sa dostávame otázke, prečo je pí vlastne také dôležité? Nuž, začnime tým, že v nejakom okamihu ľudia objavili koleso. A zrazu (dobre, zrejme to súviselo skôr s poľnohospodárstvom a daňami, no príbeh s kolesom je pekný) potrebovali zistiť, aký je obvod tohto kolesa. Ako to zistíte – nuž, môžete kolesom prejsť po zemi a následnú stopu odmerať. Lenže, zrazu sa dozviete, že výsledok je celkom čudný a ak máte jednotkový priemer kolesa... No, ale teraz to skúste urobiť iba s čistou matematikou bez kolies.

Babylonci sa pokúšali nakresliť okolo kruhu štvorec a ďalší do kruhu vpísali. Následne merali ich obvody, zrátali ich a polovicu tohto čísla považovali za obvod kruhu. Nebola to príliš presná metóda, napokon, mnohouholníky Archimeda boli presnejšie.

Pri obsahoch zase Egypťania postupovali tak, že zistili obsah štvorca so stranou rovnou priemeru kruhu. A predpokladali, že obsah kruhu je o trochu menší – ani to nie je bohvieaký výsledok. Takže si napokon povedali, že obsah kruhu je rovný skôr štvorcu, ktorého strana má 8/9 priemeru kruhu. Dostali sa tak na 3,16 (Archimedes údajne určil pí až na 3,1418).

Dnes vieme, že tento pomer obvodu kruhu k jeho priemeru je iracionálne číslo a nedá sa teda určiť pomerom dvoch celých čísel. A tiež vieme, že presnú hodnotu tohto čísla nedokážeme nikdy zistiť, keďže desatinný rozvoj pí je nekonečný.

Pod textom diskutuje aj autor článku.

Nabudúce sa pozrieme na niektoré zaujímavé čísla väčšie ako desať.

Hlavný zdroj: Klán, Peter: Čísla (Academia/Galileo 2014)

Najčítanejšie na SME Tech


Inzercia - Tlačové správy


  1. Mimoriadna kvalita unikátnych Kia SUV modelov
  2. Výnimočný obchod robia výnimoční zamestnanci
  3. Táto dvojica stojí za zrodom slovenského internetu. Ako začínal?
  4. 14 tipov na exotickú dovolenku, ktorú si môžete dovoliť (aj vy)
  5. Štatutári, máte už prístup k elektronickej schránke?
  6. Zabudnite na nové a neekologické PC. Je tu Refurbished!
  7. Volkswagen Arteon je výkladná skriňa technológií
  8. Yeme chce byť výnimočný obchod aj vďaka výnimočným zamestnancom
  9. Lepšie bývať na vidieku, alebo v meste? Hľadali sme výhody
  10. Poznáte pôvod slovenských slov? Otestujte sa
  1. Neviete si rady s vaším ročným vyúčtovaním? Pomôže vám FiiFree
  2. Nadácia Orange ocenila Detský čin roka
  3. Výnimočný obchod robia výnimoční zamestnanci
  4. Mimoriadna kvalita unikátnych Kia SUV modelov
  5. Táto dvojica stojí za zrodom slovenského internetu. Ako začínal?
  6. Aj vy môžete mať pekný trávnik, poradí vám expert
  7. Výrobky, ktoré chutia a voňajú ako z domácej zabíjačky
  8. 14 tipov na exotickú dovolenku, ktorú si môžete dovoliť (aj vy)
  9. Profesionálne sa predaj nehnuteľností dá robiť jedine exkluzívne
  10. HÝBSA Slovensko odštartovalo turné po Slovensku. Buďte pri tom!
  1. Táto dvojica stojí za zrodom slovenského internetu. Ako začínal? 16 629
  2. 14 tipov na exotickú dovolenku, ktorú si môžete dovoliť (aj vy) 15 447
  3. Poznáte pôvod slovenských slov? Otestujte sa 13 126
  4. Lepšie bývať na vidieku, alebo v meste? Hľadali sme výhody 9 817
  5. Volkswagen Arteon je výkladná skriňa technológií 7 992
  6. Čím všetkým som si prešla, aby som sa naučila po anglicky 6 451
  7. Zabudnite na nové a neekologické PC. Je tu Refurbished! 6 409
  8. Yeme chce byť výnimočný obchod aj vďaka výnimočným zamestnancom 6 247
  9. Štatutári, máte už prístup k elektronickej schránke? 3 570
  10. Hyundai H350 je dokonale spoľahlivým partnerom pre biznis 3 016

Téma: Čo neviete o číslach


Hlavné správy zo Sme.sk

DOMOV

Sudca Hrubala: Neviem, či bol Procházka politická objednávka. Vyzerá to tak

Združenie Za otvorenú justíciu sa zrejme zmení na think-tank.

DOMOV

Kaliňák nechal schátrať ubytovňu pre policajtov. Teraz sa jej chce zbaviť

Ministerstvo zaplatilo 175-tisíc za projekt, ktorý skončil v koši.

KULTÚRA

Nie je to dosť dobré. Slovenským filmárom chýba niekto, kto by im to povedal

Režisér György Kristóf oslávil úspech v Cannes v policajnej cele.

KOMENTÁRE

Kto robí Slovensku v Amerike reklamu? Aj statočný pes a splašený medveď

Krajinu často zviditeľnia iba virály.

Neprehliadnite tiež

Originál dokumentu alebo podvrh? Nová technológia spozná hárky papiera

Štruktúra vlákien je pre každý hárok papiera jedinečná. Je ako odtlačok prsta.

Miliardy ľudí čoskoro zažijú nevídanú klímu

Klimatická zmena prebieha nad zemou rýchlejšie ako nad oceánmi. Takmer polovica dnes žijúcich ľudí zažije podnebie aké nepoznáme

Pozerať ale nedotýkať sa. Pľuzgiernik lekársky je náš najjedovatejší chrobák

O prvé miesto v nelichotivom rebríčku sa delí so svojimi príbuznými – májkami, ktorých telo tiež obsahuje jedovatý kantaridín.

Kolíska ľudstva nie je v Afrike ale na Balkáne, naznačuje starodávny zub

Ak by sa potvrdili výsledky nemeckých vedcov, znamenalo by to, že ľudia sa od opíc vývojovo oddelili v Európe.