ČO NEVIETE O ČÍSLACH

Pí, e aj zlatý rez. Tri čudné čísla a čo o nich (asi) neviete

Aké číslo nedokážeme ani v súčasnosti vyrátať? A koľko peňazí vám dá banka, keby ste mohli získavať úroky nekonečne často? Spoznajte tri písmená, ktoré sú kľúčovými číslami.

Zlaté rezy.(Zdroj: Eric S./Flickr/CC)

φ alebo zlatý rez

Ak by niekto napísal číslo zhruba 1,618033..., asi by ste to za príliš dôležité nepovažovali. Zrejme však zbystríte pri zmienke o takzvanom zlatom reze.

Jeho pôvod, presnejšie jeho poznanie by sme vystopovali až kdesi do gréckej antiky a pre západný svet ho znovu objavila talianska renesancia. Je to pomer, ktorý sa často vyskytuje v prírode a nám – aspoň v európskej tradícii – sa zdá krásny. Stačí sa pozrieť na komponovanie fotografií či obrazov.

To však platí nielen pre prírodu či naše vnímanie, no aj pre matematiku. Nájdete ho, napríklad, pri slávnej Fibonacciho postupnosti. Konkrétne platí, že pomer medzi dvomi číslami v tejto postupnosti (1,1,2,3,5,8,13,...) sa v limite blíži práve k zlatému rezu. A keďže pri mnoho veciach v prírode – napríklad pri počte okvetných lístkov kvetín v prírode – narazíte práve na takúto postupnosť, znovu ste pri „božskom“ čísle.

Pre zlatý rez platí rovnica, že φ2= φ + 1. Vo svete obdĺžnikov zase to, že obdĺžnik so stranami v pomere zlatého rezu možno rozdeliť na štvorec a ďalší obdĺžnik so stranami v pomere zlatého rezu. A takto je možné postupovať donekonečna.

e alebo Eulerovo číslo

Hodnota ďalšieho zvláštneho písmenka vo svete čísel je zhruba 2,7182818... a prezýva sa niekedy aj Napierova konštanta či základ prirodzených logaritmov. A je to dôležitá konštanta, pretože „e“ je jedno z najdôležitejších čísel v matematike. Namiesto vcelku zložitých aplikácii je však extrémne zaujímavé zistiť, kde sa objaví.

Predstavte si, že si do banky vložíte euro. Ak máte stopercentný ročný úrok (niežeby taká banka jestvovala), po roku budete mať eurá dve – pretože 1x(1+1,00). Ak by sa ale úročilo každý polrok, tak z pôvodného eura budete mať na konci roka 2,25 eura – pretože 1x(1+1,00/2)x(1+1,00/2)=1x(1+1,00/2)2=2,25. Ak budete skracovať intervaly úročenia, postupne sa budete približovať k istému číslu. Ak by boli intervaly úročenia nekonečne malé, výsledkom by bolo práve Eulerovo číslo.

Toto číslo sa prvý raz objavilo začiatkom 17. storočia v práci škótskeho matematika Johna Napiera. Presnejšie, konštanta sa tam neobjavila priamo – práca vtedy obsahovala skupiny logaritmov, ktoré boli vyrátané vďaka tejto konštante.

Predpokladá sa však, že samotné objavenie čísla možno pripísať Jacobovi zo slávnej rodiny Bernoulliovcov. A napokon (po rokoch, v ktorých sa konštanta označovala písmenkom „b“) prišiel v novembri v roku 1731 Leonhard Euler a zaviedol písmenko „e“.

Keby sme mali napísať, kde všade sa e používa, mohli by sme rovno napísať knihy. Ale nájdete to trebárs tu.

pí alebo Ludolfovo číslo

Keby sme chceli zistiť, kde sa prvý raz objavilo práve pí, asi by sme sa museli pozrieť veľmi hlboko do minulosti. Predpokladá sa totiž, že vedomosť o ňom mali už starovekí Egypťania, keďže toto číslo možno vysledovať pri ich pyramídach.

Zároveň však platí, že sa Egypťania podobne ako Babylončania snažili k matematickej hodnote pí aspoň priblížiť (a to sa bavíme o období až niekedy dvetisíc rokov pred našim letopočtom). Bližšie sa zhruba o jeden a pol tisícročia neskôr dostali Indovia.

Čo by to však bolo za zásadné číslo matematiky, pri ktorom by sme nenarazili na antických Grékov. Napríklad Archimedes vymyslel spôsob (dnes by sme to nazvali algoritmus), ako sa k hodnote pí dosať. Používal vpísané a opísané geometrické útvary (začínal šesťuholníkmi a počet uhlov útvarov zdvojnásoboval) okolo kruhu, aby dokázal zistiť jeho obvod.

Tým sa dostávame otázke, prečo je pí vlastne také dôležité? Nuž, začnime tým, že v nejakom okamihu ľudia objavili koleso. A zrazu (dobre, zrejme to súviselo skôr s poľnohospodárstvom a daňami, no príbeh s kolesom je pekný) potrebovali zistiť, aký je obvod tohto kolesa. Ako to zistíte – nuž, môžete kolesom prejsť po zemi a následnú stopu odmerať. Lenže, zrazu sa dozviete, že výsledok je celkom čudný a ak máte jednotkový priemer kolesa... No, ale teraz to skúste urobiť iba s čistou matematikou bez kolies.

Babylonci sa pokúšali nakresliť okolo kruhu štvorec a ďalší do kruhu vpísali. Následne merali ich obvody, zrátali ich a polovicu tohto čísla považovali za obvod kruhu. Nebola to príliš presná metóda, napokon, mnohouholníky Archimeda boli presnejšie.

Pri obsahoch zase Egypťania postupovali tak, že zistili obsah štvorca so stranou rovnou priemeru kruhu. A predpokladali, že obsah kruhu je o trochu menší – ani to nie je bohvieaký výsledok. Takže si napokon povedali, že obsah kruhu je rovný skôr štvorcu, ktorého strana má 8/9 priemeru kruhu. Dostali sa tak na 3,16 (Archimedes údajne určil pí až na 3,1418).

Dnes vieme, že tento pomer obvodu kruhu k jeho priemeru je iracionálne číslo a nedá sa teda určiť pomerom dvoch celých čísel. A tiež vieme, že presnú hodnotu tohto čísla nedokážeme nikdy zistiť, keďže desatinný rozvoj pí je nekonečný.

Pod textom diskutuje aj autor článku.

Nabudúce sa pozrieme na niektoré zaujímavé čísla väčšie ako desať.

Hlavný zdroj: Klán, Peter: Čísla (Academia/Galileo 2014)

Najčítanejšie na SME Tech


Inzercia - Tlačové správy


  1. Zľava 3000 € na 3-izbové byty v Jarabinkách
  2. 6 dôvodov, prečo začať posielať peniaze cez VIAMO (a ako na to)
  3. Stačí len mechanické, alebo elektronické zabezpečenie vozidla?
  4. Atraktívnejšie učenie vďaka digitálnym technológiám
  5. Aký vplyv by mal konflikt v Kórei na vaše investície?
  6. JUDr. Barbora Sabó: Dobrý maklér šetrí čas, peniaze i nervy!
  7. Zanzibar je plný lákadiel na dokonalú exotickú dovolenku
  8. Rastie nám pokrivená generácia?
  9. Intímna hygiena – celoročná záležitosť
  10. Pivovar Šariš podporí cestovný ruch v Prešovskom kraji
  1. FSEV UK v Bratislave: Prax je súčasťou študijných programov
  2. 6 dôvodov, prečo začať posielať peniaze cez VIAMO (a ako na to)
  3. Hyundai Tucson Shadow určite nezostane v tieni.
  4. Stačí len mechanické, alebo elektronické zabezpečenie vozidla?
  5. Exkurzia odborárov a absolventov SvF STU v Bratislave 2017
  6. Zvolen: Zvolenčania myslia na zabezpečenie svojich domovov
  7. Detské zúbky sú veda
  8. Atraktívnejšie učenie vďaka digitálnym technológiám
  9. Aký vplyv by mal konflikt v Kórei na vaše investície?
  10. Zľava 3000 € na 3-izbové byty v Jarabinkách
  1. Zanzibar je plný lákadiel na dokonalú exotickú dovolenku 8 327
  2. Rastie nám pokrivená generácia? 3 142
  3. Intímna hygiena – celoročná záležitosť 2 690
  4. 3 mýty, ktorým ste možno uverili. Ale ako je to naozaj? 2 060
  5. Plug-in, hybrid alebo elektromobil? Poradíme, ako správne vybrať 1 223
  6. Kedy sa refinancovanie oplatí? 1 216
  7. JUDr. Barbora Sabó: Dobrý maklér šetrí čas, peniaze i nervy! 1 087
  8. Pivovar Šariš podporí cestovný ruch v Prešovskom kraji 985
  9. Zľava 3000 € na 3-izbové byty v Jarabinkách 851
  10. 6 dôvodov, prečo začať posielať peniaze cez VIAMO (a ako na to) 827

Téma: Čo neviete o číslach


Hlavné správy zo Sme.sk

DOMOV

Kažimír prezidentovi Kiskovi odporučil, aby sa vzdal daňového tajomstva

Kiskovi sa do vysvetľovania financovania kampane nechce.

DOMOV

Ľudí “na konci sveta“ župan v Prešove nezaujíma

Ľudí v Prešovskom samosprávnom kraji trápia cesty a nezamestnanosť.

Čo je nové na SME

SMEnaživo: Diskusia s kandidátmi na bratislavského župana

Príďte dnes o 18.00 diskutovať.

SVET

Merkelová nebude mať na Úniu čas, doma ju čaká veľa problémov

Francúzsko-nemecký motor Európy sa môže po voľbách zaseknúť.

Neprehliadnite tiež

Ničnerobenie a knihy. Desať najlepších spôsobov, ako si oddýchnete

Najväčšia štúdia o oddychu mala prekvapivé výsledky.

Najrýchlejší kábel zrýchli internetové prepojenie medzi Európou a Amerikou

Kábel rozloží riziko výpadkov pri katastrofách na východnom pobreží USA.

Ako vedci vyvíjajú roboty, ktoré chodia ako ľudia

Kývať nohami nestačí. Ak chcú roboty chodiť, musia najprv pochopiť možnosti svojho tela.

Odomykanie mobilov obrazcom nie je bezpečné

Všetci rozmýšľame príliš podobne.