ČO NEVIETE O ČÍSLACH

Pí, e aj zlatý rez. Tri čudné čísla a čo o nich (asi) neviete

Aké číslo nedokážeme ani v súčasnosti vyrátať? A koľko peňazí vám dá banka, keby ste mohli získavať úroky nekonečne často? Spoznajte tri písmená, ktoré sú kľúčovými číslami.

Zlaté rezy.(Zdroj: Eric S./Flickr/CC)

φ alebo zlatý rez

Ak by niekto napísal číslo zhruba 1,618033..., asi by ste to za príliš dôležité nepovažovali. Zrejme však zbystríte pri zmienke o takzvanom zlatom reze.

Jeho pôvod, presnejšie jeho poznanie by sme vystopovali až kdesi do gréckej antiky a pre západný svet ho znovu objavila talianska renesancia. Je to pomer, ktorý sa často vyskytuje v prírode a nám – aspoň v európskej tradícii – sa zdá krásny. Stačí sa pozrieť na komponovanie fotografií či obrazov.

To však platí nielen pre prírodu či naše vnímanie, no aj pre matematiku. Nájdete ho, napríklad, pri slávnej Fibonacciho postupnosti. Konkrétne platí, že pomer medzi dvomi číslami v tejto postupnosti (1,1,2,3,5,8,13,...) sa v limite blíži práve k zlatému rezu. A keďže pri mnoho veciach v prírode – napríklad pri počte okvetných lístkov kvetín v prírode – narazíte práve na takúto postupnosť, znovu ste pri „božskom“ čísle.

Článok pokračuje pod video reklamou

Pre zlatý rez platí rovnica, že φ2= φ + 1. Vo svete obdĺžnikov zase to, že obdĺžnik so stranami v pomere zlatého rezu možno rozdeliť na štvorec a ďalší obdĺžnik so stranami v pomere zlatého rezu. A takto je možné postupovať donekonečna.

e alebo Eulerovo číslo

Hodnota ďalšieho zvláštneho písmenka vo svete čísel je zhruba 2,7182818... a prezýva sa niekedy aj Napierova konštanta či základ prirodzených logaritmov. A je to dôležitá konštanta, pretože „e“ je jedno z najdôležitejších čísel v matematike. Namiesto vcelku zložitých aplikácii je však extrémne zaujímavé zistiť, kde sa objaví.

Predstavte si, že si do banky vložíte euro. Ak máte stopercentný ročný úrok (niežeby taká banka jestvovala), po roku budete mať eurá dve – pretože 1x(1+1,00). Ak by sa ale úročilo každý polrok, tak z pôvodného eura budete mať na konci roka 2,25 eura – pretože 1x(1+1,00/2)x(1+1,00/2)=1x(1+1,00/2)2=2,25. Ak budete skracovať intervaly úročenia, postupne sa budete približovať k istému číslu. Ak by boli intervaly úročenia nekonečne malé, výsledkom by bolo práve Eulerovo číslo.

Toto číslo sa prvý raz objavilo začiatkom 17. storočia v práci škótskeho matematika Johna Napiera. Presnejšie, konštanta sa tam neobjavila priamo – práca vtedy obsahovala skupiny logaritmov, ktoré boli vyrátané vďaka tejto konštante.

Predpokladá sa však, že samotné objavenie čísla možno pripísať Jacobovi zo slávnej rodiny Bernoulliovcov. A napokon (po rokoch, v ktorých sa konštanta označovala písmenkom „b“) prišiel v novembri v roku 1731 Leonhard Euler a zaviedol písmenko „e“.

Keby sme mali napísať, kde všade sa e používa, mohli by sme rovno napísať knihy. Ale nájdete to trebárs tu.

pí alebo Ludolfovo číslo

Keby sme chceli zistiť, kde sa prvý raz objavilo práve pí, asi by sme sa museli pozrieť veľmi hlboko do minulosti. Predpokladá sa totiž, že vedomosť o ňom mali už starovekí Egypťania, keďže toto číslo možno vysledovať pri ich pyramídach.

Zároveň však platí, že sa Egypťania podobne ako Babylončania snažili k matematickej hodnote pí aspoň priblížiť (a to sa bavíme o období až niekedy dvetisíc rokov pred našim letopočtom). Bližšie sa zhruba o jeden a pol tisícročia neskôr dostali Indovia.

Čo by to však bolo za zásadné číslo matematiky, pri ktorom by sme nenarazili na antických Grékov. Napríklad Archimedes vymyslel spôsob (dnes by sme to nazvali algoritmus), ako sa k hodnote pí dosať. Používal vpísané a opísané geometrické útvary (začínal šesťuholníkmi a počet uhlov útvarov zdvojnásoboval) okolo kruhu, aby dokázal zistiť jeho obvod.

Tým sa dostávame otázke, prečo je pí vlastne také dôležité? Nuž, začnime tým, že v nejakom okamihu ľudia objavili koleso. A zrazu (dobre, zrejme to súviselo skôr s poľnohospodárstvom a daňami, no príbeh s kolesom je pekný) potrebovali zistiť, aký je obvod tohto kolesa. Ako to zistíte – nuž, môžete kolesom prejsť po zemi a následnú stopu odmerať. Lenže, zrazu sa dozviete, že výsledok je celkom čudný a ak máte jednotkový priemer kolesa... No, ale teraz to skúste urobiť iba s čistou matematikou bez kolies.

Babylonci sa pokúšali nakresliť okolo kruhu štvorec a ďalší do kruhu vpísali. Následne merali ich obvody, zrátali ich a polovicu tohto čísla považovali za obvod kruhu. Nebola to príliš presná metóda, napokon, mnohouholníky Archimeda boli presnejšie.

Pri obsahoch zase Egypťania postupovali tak, že zistili obsah štvorca so stranou rovnou priemeru kruhu. A predpokladali, že obsah kruhu je o trochu menší – ani to nie je bohvieaký výsledok. Takže si napokon povedali, že obsah kruhu je rovný skôr štvorcu, ktorého strana má 8/9 priemeru kruhu. Dostali sa tak na 3,16 (Archimedes údajne určil pí až na 3,1418).

Dnes vieme, že tento pomer obvodu kruhu k jeho priemeru je iracionálne číslo a nedá sa teda určiť pomerom dvoch celých čísel. A tiež vieme, že presnú hodnotu tohto čísla nedokážeme nikdy zistiť, keďže desatinný rozvoj pí je nekonečný.

Pod textom diskutuje aj autor článku.

Nabudúce sa pozrieme na niektoré zaujímavé čísla väčšie ako desať.

Hlavný zdroj: Klán, Peter: Čísla (Academia/Galileo 2014)

Chcete dostať upozornenie na najnovší článok tohto autora?
Objednajte si notifikáciu priamo na váš e-mail.
Odoberať autora na email

Najčítanejšie na SME Tech

Inzercia - Tlačové správy

  1. Dubravské Čerešne majú sladké prekvapenie pre najrýchlejších!
  2. Infografika: Slováci minuli na Pohode historicky najviac peňazí
  3. Veríte brusniciam pri zápaloch močových ciest? Nemusia stačiť
  4. Aká je ideálna vlhkosť a teplota v byte? Výskum hovorí jasne
  5. Dobrú chuť: Letné šaláty a bizarné praktiky food fotografie
  6. Vyberiete si radšej romantický Paríž alebo slnečné Nice?
  7. O asistovanej reprodukcii sa šíri množstvo zavádzajúcich tvrdení
  8. Pivovar Šariš rozdá tisíce eur, o časti peňazí rozhodnú ľudia
  9. Volkswagen Golf GTI TCR naživo na Slovakia Ringu!
  10. 3 dôvody, prečo sa oplatí mať online účet v ZSE už toto leto
  1. Dubravské Čerešne majú sladké prekvapenie pre najrýchlejších!
  2. Aká je ideálna vlhkosť a teplota v byte? Výskum hovorí jasne
  3. Veríte brusniciam pri zápaloch močových ciest? Nemusia stačiť
  4. Infografika: Slováci minuli na Pohode historicky najviac peňazí
  5. Vyberiete si radšej romantický Paríž alebo slnečné Nice?
  6. Dobrú chuť: Letné šaláty a bizarné praktiky food fotografie
  7. Salón architektov A0 – Coneco 2018
  8. Záhradný nábytok: aký materiál je najlepší?
  9. Životné jubileum prof. Ing. Jaroslava Valáška, PhD.
  10. OMV pozýva na pretekársky supervíkend na okruhu Slovakiaring
  1. Infografika: Slováci minuli na Pohode historicky najviac peňazí 10 646
  2. Ulovte si last minute dovolenku so zľavou do 70% 9 231
  3. Aká je ideálna vlhkosť a teplota v byte? Výskum hovorí jasne 8 497
  4. Dobrú chuť: Letné šaláty a bizarné praktiky food fotografie 8 444
  5. Vyberiete si radšej romantický Paríž alebo slnečné Nice? 7 623
  6. O asistovanej reprodukcii sa šíri množstvo zavádzajúcich tvrdení 6 262
  7. Pivovar Šariš rozdá tisíce eur, o časti peňazí rozhodnú ľudia 4 548
  8. Nie sme žiadni paštikári. Slováci už dovolenkujú inak 4 362
  9. Iná tvár Mexika: Nocovanie s Indiánmi, dobrodružstvo v džungli 3 698
  10. Volkswagen Golf GTI TCR naživo na Slovakia Ringu! 3 278

Téma: Čo neviete o číslach


Hlavné správy zo Sme.sk

ŠPORT

Aký bol šampionát v Rusku? Plný sexizmu, politiky a simulovania

Prinášame najzaujímavejšie momenty z MS 2018 vo futbale.

PLUS

Food fotograf: Keď sa fotí pečené kura, tak nie je pečené

Prečo sa pri fotení do hamburgerov pichajú špáradlá a do kurčaťa klinčeky?

ŠPORT

Súperi pri ňom vyzerali ako kužele. Zostavili sme ideálny tím

Najlepším hráčom bol Modrič, najužitočnejším Griezmann.

EKONOMIKA

Hotovosť na dovolenke môže vyjsť drahšie, bankomaty mätú ľudí

Nie je jedno, akú možnosť zvolíte.

Neprehliadnite tiež

Austrálsky Černobyľ láka turistov, výstrahy ignorujú

Na varovania nedbali, kým ľudia nezačali umierať.

Podcast Klik

Klik: Facebook dostal vysokú pokutu, ktorú si ani nevšimne

Prehľad technologických správ.