LOGIKA PRE KAŽDÉHO

Stĺpček o logike: Ako si urobiť z nášho jazyka rovnice

Prirodzený jazyk alebo matematické rovnice? A čo je to Booleova algebra logiky?

(Zdroj: ILUSTRAČNÉ - WIKIMEDIA)
Logika pre každého je pravidelná séria stĺpčekov o logike pripravená v spolupráci s Katedrou logiky a metodológie vied FF UK.

Bádatelia, ktorí boli presvedčení o potrebe čo najpresnejšie vyjadrovať aj bežné myšlienky, sa oddávna snažili exaktnosť matematických výpočtov dosiahnuť aj pri „manipulácii“ s pojmami a vetami prirodzeného jazyka.

Mali im na to slúžiť rozličné stroje, „kalkulačky“, ktoré by počítali s pojmami či vetami tak, ako sa počíta s číslami. Nemecký matematik a filozof G. W. Leibniz (vraj so slovanskými koreňmi) prišiel koncom 17. storočia s ideou, že závery vedeckých diskusií by sa mali dať vypočítať rovnako, ako sa dá vypočítať matematická rovnica.

Dôležitý krok v tomto smere sa podarilo urobiť až v 19. storočí. Anglický matematik a logik George Boole (1815 – 1864) dielom The Mathe­matical Analysis of Logic, vydaným v roku 1847, a nezávisle britský matematik a logik August de Morgan dielom Formal Logic, vydaným v tom istom roku (dokonca sa vraj obe dostali do kníhkupectiev v ten istý deň), otvárajú obdobie tzv. modernej logiky.

Moderná logika

Modernosť tejto logiky spočíva najmä v používaní moderných algebraických prostriedkov na reprezentáciu logických pravidiel a zákonov.

Základné Boolove intuície boli tieto: dá sa koncipovať kalkul, v ktorom by sa „počítalo“ s inými entitami ako s číslami; tento kalkul by bol podobný, hoci nie úplne, aritmetike.

Boole vypracoval kalkul, ktorý mal najmenej dve odlišné interpretácie. Jednou zamýšľanou interpretáciou bola elementárna teória množín. Druhou zamýšľanou interpretáciou bola výroková logika – reprezen­tácia spôsobov spájania jednoduchších výrokov do zložených.

Systém Booleovej algebry využíval veľmi primitívny jazyk, v ktorom boli okrem zhodnosti (≡) len mená troch operácií (spojenie - , priesek - , komplement - ~), dvoch konštánt (nulový a univerzálny prvok) a mená premenných (všetky formuly s premennými tohto kalkulu sú všeobecné, ako sa to bežne predpokladá v aritmetike).

Axiómy systému stanovovali vlastnosti uvedených operácií, z ktorých niektoré boli analogické aritmetickým operáciám.

Napríklad operácie sú

asociatívne – nezáleží na poradí vykonania operácie prieseku alebo spojenia s viacerými (tromi) premennými (x(yz) ≡ (xy)z; x(yz) ≡ (xy)) podobne, ako v aritmetike sčítanie a násobenie;

komutatívne - nezáleží na poradí argumentov pri vykonaní operácie (xy ≡ yx; xy ≡ yx), a ešte ďalšie.

Iné axiómy už zachytávali vlastnosti operácií, ktoré neboli podobné aritmetickým operáciám. Napríklad spojenie (priesek) objektu so sebou samým je zhodný s týmto objektom - xx ≡ x (x x ≡ x), čo už nemá analógiu s operáciami sčítania a násobenia z aritmetiky. Rovnako distributívnosť operácie spojenia nemala analógiu v aritmetike - (y•z) ≡ (xy)•(xz).

Dve rôzne interpretácie

Ak si pojmy vysvetľujeme pomocou ich rozsahov, tak množinová interpretácia Booleovej algebry sa hodí na manipuláciu s pojmami: operácia spojenia bude chápaná ako zjednotenie dvoch (rozsahov) pojmov, operáciaprieseku bude chápaná ako prienik dvoch (rozsahov) pojmov, operácia komplementu ako doplnok k (rozsahu) pojmu.

Výrokovo-logická interpretácia Booleovej algebry nám umožňuje použiť túto algebru na manipuláciu s výrokmi: operácia spojenia bude chápaná ako disjunkcia (spojka alebo) dvoch výrokov, operáciaprieseku bude chápaná ako konjunkcia (spojka a) dvoch výrokov, operácia komplementu ako negácia výroku.

Rozdiel medzi množinovým modelom a výrokovým modelom Booleovej al­gebry spočíva najmä v tom, že pole množín vo všeobecnosti obsahuje viac ako dva prvky (okrem iného vždy prázdnu množinu a univerzálnu množinu (triedu), naproti tomu pole výrokov obsahuje práve dva prvky, ktoré sú totožné s konštantami1 a0 (pravda; nepravda).

Boole navrhol prepisovať jednotlivé druhy subjekt-predikátových výrokov kategorického sylogizmu ako rovnice v algebre logiky, a to napríklad takto:

Všeobecný kladný výrok – napríklad Každý človek (Č) je stavovec (S) – môžeme zachytiť pomocou prieniku () množín: ČS = Č; alebo pomocou zjednotenia () množín: ČS = S.

Opisne: rozsah pojmu človek je podradený rozsahu pojmu stavovec (z rozsahu pojmu človek sa nič nestratí prienikom s rozsahom nadradeného pojmu stavovec); resp. rozsah pojmu človek nepridá nič navyše k rozsahu nadradeného pojmu stavovec.

Spájanie dvoch výrokov do zloženého výroku sa riadi tými istými axiómami. Napríklad nech A je výrok a B je pravdivý výrok (analógia nadradeného pojmu), potom:

1) pravdivostná hodnota (Ph) konjunkcie týchto dvoch výrokov je rovnaká ako pravdivostná hodnota výroku A ( (Ph(A) 1) Ph(A));

2) pravdivostná hodnota disjunkcie týchto dvoch výrokov je rovnaká (ekvivalentná) ako pravdivostná hodnota výroku B, t.j. pravda ( (Ph(A) 1) 1).

Prevratný objav

Boole svojou algebrou logiky takto demonštroval prevratný objav: dve, dovtedy považované za veľmi odlišné, oblasti – oblasť pojmov a oblasť výrokov – sú si veľmi blízke a na korektné narábanie s nimi nám slúži jeden a ten istý kalkul – tá istá algebraická logika.

Boole takto dokázal, že logická štruktúra toho, o čom sú vety prirodzeného jazyka, sa v zásade dá zapísať rovnako presne, exaktne ako v aritmetike zachytávame rovnicami vzťahy medzi číslami a operáciami medzi nimi: vety prirodzeného jazyka sa mohli zapisovať ako rovnice algebraického kalkulu a závery úsudkov vedeckých diskusií sa mohli vypočítať ako rovnice.

Hoci toto exaktné zobrazenie sa týkalo len určitých spôsobov spájania pojmov a výrokov, predsa sa podaril dôležitý krok v naplnení dávnej túžby o presnosť usudzovania v prirodzenom jazyku.

Autor je logik a bývalý rektor Univerzity Komenského.

Na spracúvanie osobných údajov sa vzťahujú Zásady ochrany osobných údajov a Pravidlá používania cookies. Pred zadaním e-mailovej adresy sa, prosím, dôkladne oboznámte s týmito dokumentmi.

Najčítanejšie na SME Tech

Inzercia - Tlačové správy

  1. Kupujete alebo predávate byt? Týchto 5 vecí si skontrolujte!
  2. Boli ste v Novembri 89 na námestí? Patrí vám verejná vďaka!
  3. Spoločenská zodpovednosť je súčasťou podnikania
  4. Hodnotenie profesionála: Dovolenka na Seycheloch
  5. Ľudia si už neuvedomujú, že ich svet nekončí na vlastnom prahu
  6. Televízor s 8K rozlíšením je realitou. Kúpiť či čakať?
  7. Psychológ varuje rodičov: Nesnažte sa byť dokonalými
  8. EY Podnikateľ roka: hľadáme slovenské príbehy!
  9. Platíte si poistenie domova zbytočne?
  10. Volkswagen T-Cross má z každého niečo
  1. Boli ste v Novembri 89 na námestí? Patrí vám verejná vďaka!
  2. 4 mýty o minerálnej vlne, ktorým by ste nemali veriť
  3. Stavebná fakulta STU na dňoch kariérneho poradenstva
  4. XXIII. Seminár I. Poliačka – Rozvoj cestnej infraštruktúry
  5. Spoločenská zodpovednosť je súčasťou podnikania
  6. Hodnotenie profesionála: Dovolenka na Seycheloch
  7. Sieť prevádzok Stop Shop obchodov má už 80 pobočiek
  8. Rozdiel medzi Dič a Ič dph
  9. Ekonomická diplomacia Indonézie
  10. Ako si vieme zabezpečiť štedrý a spokojný dôchodok?
  1. Dvaja Slováci dokázali zázrak. Ich listy chcú po celom svete 34 482
  2. Kde robia v Bratislave najlepšiu kávu? Vybrali sme 6 kaviarní 26 535
  3. Platíte si poistenie domova zbytočne? 20 275
  4. Kupujete alebo predávate byt? Týchto 5 vecí si skontrolujte! 10 221
  5. Hodnotenie profesionála: Dovolenka na Seycheloch 8 470
  6. First moment na leto 2019 je tu: 13 letovísk s výraznými zľavami 8 401
  7. Hidradenitída - kožná choroba, o ktorej sa nehovorí 4 459
  8. Psychológ varuje rodičov: Nesnažte sa byť dokonalými 3 758
  9. Televízor s 8K rozlíšením je realitou. Kúpiť či čakať? 3 708
  10. Volkswagen T-Cross má z každého niečo 3 515

Téma: Stĺpček o logike


Hlavné správy zo Sme.sk

Autorská strana Evy Borušovičovej

Hľadajte to, čo je vyškrtnuté, zabudnuté, utajené

Milan Štefánik mal osud, v ktorom za každým vyriešeným rébusom nájdete ďalší rébus.

DOMOV

Pozadie protestov riešili aj pri Gorile. Bol za tým Kočner

V zákulisí operoval Kočnerov komplic.

Neprehliadnite tiež

Podcast Klik

Klik: Ako vybrať dobrý telefón a televízor

Ako rozmýšľať pri výbere mobilu či televízora a na čo si dať pozor.

OBJEKTÍV

Dvoch potápačov prekvapil obrovský tvor, vyzerá ako morský červ

Ohnivky sú zložené zo stoviek tvorov.