LOGIKA PRE KAŽDÉHO

Stĺpček o logike: Ako si urobiť z nášho jazyka rovnice

Prirodzený jazyk alebo matematické rovnice? A čo je to Booleova algebra logiky?

(Zdroj: ILUSTRAČNÉ - WIKIMEDIA)
Logika pre každého je pravidelná séria stĺpčekov o logike pripravená v spolupráci s Katedrou logiky a metodológie vied FF UK.

Bádatelia, ktorí boli presvedčení o potrebe čo najpresnejšie vyjadrovať aj bežné myšlienky, sa oddávna snažili exaktnosť matematických výpočtov dosiahnuť aj pri „manipulácii“ s pojmami a vetami prirodzeného jazyka.

Mali im na to slúžiť rozličné stroje, „kalkulačky“, ktoré by počítali s pojmami či vetami tak, ako sa počíta s číslami. Nemecký matematik a filozof G. W. Leibniz (vraj so slovanskými koreňmi) prišiel koncom 17. storočia s ideou, že závery vedeckých diskusií by sa mali dať vypočítať rovnako, ako sa dá vypočítať matematická rovnica.

Dôležitý krok v tomto smere sa podarilo urobiť až v 19. storočí. Anglický matematik a logik George Boole (1815 – 1864) dielom The Mathe­matical Analysis of Logic, vydaným v roku 1847, a nezávisle britský matematik a logik August de Morgan dielom Formal Logic, vydaným v tom istom roku (dokonca sa vraj obe dostali do kníhkupectiev v ten istý deň), otvárajú obdobie tzv. modernej logiky.

Moderná logika

Modernosť tejto logiky spočíva najmä v používaní moderných algebraických prostriedkov na reprezentáciu logických pravidiel a zákonov.

Základné Boolove intuície boli tieto: dá sa koncipovať kalkul, v ktorom by sa „počítalo“ s inými entitami ako s číslami; tento kalkul by bol podobný, hoci nie úplne, aritmetike.

Boole vypracoval kalkul, ktorý mal najmenej dve odlišné interpretácie. Jednou zamýšľanou interpretáciou bola elementárna teória množín. Druhou zamýšľanou interpretáciou bola výroková logika – reprezen­tácia spôsobov spájania jednoduchších výrokov do zložených.

Systém Booleovej algebry využíval veľmi primitívny jazyk, v ktorom boli okrem zhodnosti (≡) len mená troch operácií (spojenie - , priesek - , komplement - ~), dvoch konštánt (nulový a univerzálny prvok) a mená premenných (všetky formuly s premennými tohto kalkulu sú všeobecné, ako sa to bežne predpokladá v aritmetike).

Axiómy systému stanovovali vlastnosti uvedených operácií, z ktorých niektoré boli analogické aritmetickým operáciám.

Napríklad operácie sú

asociatívne – nezáleží na poradí vykonania operácie prieseku alebo spojenia s viacerými (tromi) premennými (x(yz) ≡ (xy)z; x(yz) ≡ (xy)) podobne, ako v aritmetike sčítanie a násobenie;

komutatívne - nezáleží na poradí argumentov pri vykonaní operácie (xy ≡ yx; xy ≡ yx), a ešte ďalšie.

Iné axiómy už zachytávali vlastnosti operácií, ktoré neboli podobné aritmetickým operáciám. Napríklad spojenie (priesek) objektu so sebou samým je zhodný s týmto objektom - xx ≡ x (x x ≡ x), čo už nemá analógiu s operáciami sčítania a násobenia z aritmetiky. Rovnako distributívnosť operácie spojenia nemala analógiu v aritmetike - (y•z) ≡ (xy)•(xz).

Dve rôzne interpretácie

Ak si pojmy vysvetľujeme pomocou ich rozsahov, tak množinová interpretácia Booleovej algebry sa hodí na manipuláciu s pojmami: operácia spojenia bude chápaná ako zjednotenie dvoch (rozsahov) pojmov, operáciaprieseku bude chápaná ako prienik dvoch (rozsahov) pojmov, operácia komplementu ako doplnok k (rozsahu) pojmu.

Výrokovo-logická interpretácia Booleovej algebry nám umožňuje použiť túto algebru na manipuláciu s výrokmi: operácia spojenia bude chápaná ako disjunkcia (spojka alebo) dvoch výrokov, operáciaprieseku bude chápaná ako konjunkcia (spojka a) dvoch výrokov, operácia komplementu ako negácia výroku.

Rozdiel medzi množinovým modelom a výrokovým modelom Booleovej al­gebry spočíva najmä v tom, že pole množín vo všeobecnosti obsahuje viac ako dva prvky (okrem iného vždy prázdnu množinu a univerzálnu množinu (triedu), naproti tomu pole výrokov obsahuje práve dva prvky, ktoré sú totožné s konštantami1 a0 (pravda; nepravda).

Boole navrhol prepisovať jednotlivé druhy subjekt-predikátových výrokov kategorického sylogizmu ako rovnice v algebre logiky, a to napríklad takto:

Všeobecný kladný výrok – napríklad Každý človek (Č) je stavovec (S) – môžeme zachytiť pomocou prieniku () množín: ČS = Č; alebo pomocou zjednotenia () množín: ČS = S.

Opisne: rozsah pojmu človek je podradený rozsahu pojmu stavovec (z rozsahu pojmu človek sa nič nestratí prienikom s rozsahom nadradeného pojmu stavovec); resp. rozsah pojmu človek nepridá nič navyše k rozsahu nadradeného pojmu stavovec.

Spájanie dvoch výrokov do zloženého výroku sa riadi tými istými axiómami. Napríklad nech A je výrok a B je pravdivý výrok (analógia nadradeného pojmu), potom:

1) pravdivostná hodnota (Ph) konjunkcie týchto dvoch výrokov je rovnaká ako pravdivostná hodnota výroku A ( (Ph(A) 1) Ph(A));

2) pravdivostná hodnota disjunkcie týchto dvoch výrokov je rovnaká (ekvivalentná) ako pravdivostná hodnota výroku B, t.j. pravda ( (Ph(A) 1) 1).

Prevratný objav

Boole svojou algebrou logiky takto demonštroval prevratný objav: dve, dovtedy považované za veľmi odlišné, oblasti – oblasť pojmov a oblasť výrokov – sú si veľmi blízke a na korektné narábanie s nimi nám slúži jeden a ten istý kalkul – tá istá algebraická logika.

Boole takto dokázal, že logická štruktúra toho, o čom sú vety prirodzeného jazyka, sa v zásade dá zapísať rovnako presne, exaktne ako v aritmetike zachytávame rovnicami vzťahy medzi číslami a operáciami medzi nimi: vety prirodzeného jazyka sa mohli zapisovať ako rovnice algebraického kalkulu a závery úsudkov vedeckých diskusií sa mohli vypočítať ako rovnice.

Hoci toto exaktné zobrazenie sa týkalo len určitých spôsobov spájania pojmov a výrokov, predsa sa podaril dôležitý krok v naplnení dávnej túžby o presnosť usudzovania v prirodzenom jazyku.

Autor je logik a bývalý rektor Univerzity Komenského.

Na spracúvanie osobných údajov sa vzťahujú Zásady ochrany osobných údajov a Pravidlá používania cookies. Pred zadaním e-mailovej adresy sa, prosím, dôkladne oboznámte s týmito dokumentmi.

Najčítanejšie na SME Tech

Inzercia - Tlačové správy

  1. Šesťročné dlhopisy teraz s výnosom až 7 % p.a.
  2. Štefánka by Pulitzer
  3. Trápi vás chrípka alebo prechladnutie? Vieme, ako s nimi zatočiť
  4. Reportáž: Takto sa na Slovensku vyrábajú cestoviny
  5. Zážitky z Pobaltia: Objavte Tallinn a Rigu
  6. Darček, s ktorým si na vás spomenie 365 dní v roku
  7. Predpremiéra vynoveného VW Passat: Viac IQ, viac online
  8. Šanca pre mladé talenty z oblasti umenia, vedy či športu
  9. Top destinácie a hotely na exotickú dovolenku v zime
  10. Stotisíc ľudí rozhodlo: Nadácia banky rozdelí štvrť milióna eur
  1. Na Slovensku sa vydáva najviac učiteľských preukazov
  2. Prihlásili ste sa ako dobrovoľník na Olympiádu v Tokiu?
  3. Šesťročné dlhopisy teraz s výnosom až 7 % p.a.
  4. Štefánka by Pulitzer
  5. Počuli ste už o integrovane pestovanej zelenine?
  6. Konferencia - EU support for research
  7. Slovensko má zasiahnuť robotizácia
  8. Viete, aké sú najlepšie možnosti sporenia pre mladých?
  9. Trápi vás chrípka alebo prechladnutie? Vieme, ako s nimi zatočiť
  10. Hitem jsou cyklopočítače Mio - pro zábavu i výkon
  1. Premýšľate o aute do 10 000 eur? Poradíme vám, ako nenaletieť 24 506
  2. Reportáž: Takto sa na Slovensku vyrábajú cestoviny 17 702
  3. Zážitky z Pobaltia: Objavte Tallinn a Rigu 8 928
  4. Darček, s ktorým si na vás spomenie 365 dní v roku 6 936
  5. Trápi vás chrípka alebo prechladnutie? Vieme, ako s nimi zatočiť 6 431
  6. Čo sa stalo s mojimi úsporami v druhom pilieri? 5 283
  7. Štefánka by Pulitzer 5 171
  8. Je lepšie menučko, alebo domáca strava? Týždeň sme varili doma 4 350
  9. Predpremiéra vynoveného VW Passat: Viac IQ, viac online 3 538
  10. Top destinácie a hotely na exotickú dovolenku v zime 2 943

Téma: Stĺpček o logike


Hlavné správy zo Sme.sk

DOMOV

Lubyová dáva ruky preč od lukratívneho hotela, ktorý zhorel

Intenda sa sporí o Hotel Junior v Jasnej.

Stĺpček šéfredaktorky

Robert Fico je v rozklade

Ako do Ficovej mafiánskej scény zapadajú policajné orgány?

Neprehliadnite tiež

Virtuálna realita PlayStation VR od Sony predstavuje najlepší spôsob, ako si technológiu vyskúšať.
Podcast Klik

Klik: Ako tučný Samsung poskladá trh s mobilmi

Komentovaný prehľad technologických správ.

Podcast Klik denníka SME.
Kôň s plachtou so zebrím vzorom.
Virtuálna realita v podaní PlayStation VR.