SME
Nedeľa, 20. október, 2019 | Meniny má Vendelín
LOGIKA PRE KAŽDÉHO

Stĺpček o logike: Ako si urobiť z nášho jazyka rovnice

Prirodzený jazyk alebo matematické rovnice? A čo je to Booleova algebra logiky?

(Zdroj: ILUSTRAČNÉ - WIKIMEDIA)
Logika pre každého je pravidelná séria stĺpčekov o logike pripravená v spolupráci s Katedrou logiky a metodológie vied FF UK.

Bádatelia, ktorí boli presvedčení o potrebe čo najpresnejšie vyjadrovať aj bežné myšlienky, sa oddávna snažili exaktnosť matematických výpočtov dosiahnuť aj pri „manipulácii“ s pojmami a vetami prirodzeného jazyka.

Mali im na to slúžiť rozličné stroje, „kalkulačky“, ktoré by počítali s pojmami či vetami tak, ako sa počíta s číslami. Nemecký matematik a filozof G. W. Leibniz (vraj so slovanskými koreňmi) prišiel koncom 17. storočia s ideou, že závery vedeckých diskusií by sa mali dať vypočítať rovnako, ako sa dá vypočítať matematická rovnica.

Dôležitý krok v tomto smere sa podarilo urobiť až v 19. storočí. Anglický matematik a logik George Boole (1815 – 1864) dielom The Mathe­matical Analysis of Logic, vydaným v roku 1847, a nezávisle britský matematik a logik August de Morgan dielom Formal Logic, vydaným v tom istom roku (dokonca sa vraj obe dostali do kníhkupectiev v ten istý deň), otvárajú obdobie tzv. modernej logiky.

Moderná logika

Modernosť tejto logiky spočíva najmä v používaní moderných algebraických prostriedkov na reprezentáciu logických pravidiel a zákonov.

Základné Boolove intuície boli tieto: dá sa koncipovať kalkul, v ktorom by sa „počítalo“ s inými entitami ako s číslami; tento kalkul by bol podobný, hoci nie úplne, aritmetike.

Boole vypracoval kalkul, ktorý mal najmenej dve odlišné interpretácie. Jednou zamýšľanou interpretáciou bola elementárna teória množín. Druhou zamýšľanou interpretáciou bola výroková logika – reprezen­tácia spôsobov spájania jednoduchších výrokov do zložených.

Systém Booleovej algebry využíval veľmi primitívny jazyk, v ktorom boli okrem zhodnosti (≡) len mená troch operácií (spojenie - , priesek - , komplement - ~), dvoch konštánt (nulový a univerzálny prvok) a mená premenných (všetky formuly s premennými tohto kalkulu sú všeobecné, ako sa to bežne predpokladá v aritmetike).

Axiómy systému stanovovali vlastnosti uvedených operácií, z ktorých niektoré boli analogické aritmetickým operáciám.

Napríklad operácie sú

asociatívne – nezáleží na poradí vykonania operácie prieseku alebo spojenia s viacerými (tromi) premennými (x(yz) ≡ (xy)z; x(yz) ≡ (xy)) podobne, ako v aritmetike sčítanie a násobenie;

komutatívne - nezáleží na poradí argumentov pri vykonaní operácie (xy ≡ yx; xy ≡ yx), a ešte ďalšie.

Iné axiómy už zachytávali vlastnosti operácií, ktoré neboli podobné aritmetickým operáciám. Napríklad spojenie (priesek) objektu so sebou samým je zhodný s týmto objektom - xx ≡ x (x x ≡ x), čo už nemá analógiu s operáciami sčítania a násobenia z aritmetiky. Rovnako distributívnosť operácie spojenia nemala analógiu v aritmetike - (y•z) ≡ (xy)•(xz).

Dve rôzne interpretácie

Ak si pojmy vysvetľujeme pomocou ich rozsahov, tak množinová interpretácia Booleovej algebry sa hodí na manipuláciu s pojmami: operácia spojenia bude chápaná ako zjednotenie dvoch (rozsahov) pojmov, operáciaprieseku bude chápaná ako prienik dvoch (rozsahov) pojmov, operácia komplementu ako doplnok k (rozsahu) pojmu.

Výrokovo-logická interpretácia Booleovej algebry nám umožňuje použiť túto algebru na manipuláciu s výrokmi: operácia spojenia bude chápaná ako disjunkcia (spojka alebo) dvoch výrokov, operáciaprieseku bude chápaná ako konjunkcia (spojka a) dvoch výrokov, operácia komplementu ako negácia výroku.

Rozdiel medzi množinovým modelom a výrokovým modelom Booleovej al­gebry spočíva najmä v tom, že pole množín vo všeobecnosti obsahuje viac ako dva prvky (okrem iného vždy prázdnu množinu a univerzálnu množinu (triedu), naproti tomu pole výrokov obsahuje práve dva prvky, ktoré sú totožné s konštantami1 a0 (pravda; nepravda).

Boole navrhol prepisovať jednotlivé druhy subjekt-predikátových výrokov kategorického sylogizmu ako rovnice v algebre logiky, a to napríklad takto:

Všeobecný kladný výrok – napríklad Každý človek (Č) je stavovec (S) – môžeme zachytiť pomocou prieniku () množín: ČS = Č; alebo pomocou zjednotenia () množín: ČS = S.

Opisne: rozsah pojmu človek je podradený rozsahu pojmu stavovec (z rozsahu pojmu človek sa nič nestratí prienikom s rozsahom nadradeného pojmu stavovec); resp. rozsah pojmu človek nepridá nič navyše k rozsahu nadradeného pojmu stavovec.

Spájanie dvoch výrokov do zloženého výroku sa riadi tými istými axiómami. Napríklad nech A je výrok a B je pravdivý výrok (analógia nadradeného pojmu), potom:

1) pravdivostná hodnota (Ph) konjunkcie týchto dvoch výrokov je rovnaká ako pravdivostná hodnota výroku A ( (Ph(A) 1) Ph(A));

2) pravdivostná hodnota disjunkcie týchto dvoch výrokov je rovnaká (ekvivalentná) ako pravdivostná hodnota výroku B, t.j. pravda ( (Ph(A) 1) 1).

Prevratný objav

Boole svojou algebrou logiky takto demonštroval prevratný objav: dve, dovtedy považované za veľmi odlišné, oblasti – oblasť pojmov a oblasť výrokov – sú si veľmi blízke a na korektné narábanie s nimi nám slúži jeden a ten istý kalkul – tá istá algebraická logika.

Boole takto dokázal, že logická štruktúra toho, o čom sú vety prirodzeného jazyka, sa v zásade dá zapísať rovnako presne, exaktne ako v aritmetike zachytávame rovnicami vzťahy medzi číslami a operáciami medzi nimi: vety prirodzeného jazyka sa mohli zapisovať ako rovnice algebraického kalkulu a závery úsudkov vedeckých diskusií sa mohli vypočítať ako rovnice.

Hoci toto exaktné zobrazenie sa týkalo len určitých spôsobov spájania pojmov a výrokov, predsa sa podaril dôležitý krok v naplnení dávnej túžby o presnosť usudzovania v prirodzenom jazyku.

Autor je logik a bývalý rektor Univerzity Komenského.

Najčítanejšie na SME Tech

Inzercia - Tlačové správy

  1. Bývať v novom sa dá aj bez hypotéky (a založenia nehnuteľnosti)
  2. Karibik: Dokonalý oddych v špičkových hoteloch
  3. IBA DNES: Získajte plný prístup na SME.sk na 30 dní zadarmo
  4. Ojazdené pneumatiky odovzdajte, šetríte tak životné prostredie
  5. Lidl je odteraz všade! Vitajte v Lidl e-shope
  6. Nestarnú, ale dozrievajú
  7. Výskumný park v Rakúsku zistil, ako sa býva najzdravšie
  8. Limitovaná ponuka: balík SME.sk + DIGI GO so zľavou až 52 %
  9. Rýchlejšie doma. Už čoskoro.
  10. Zanzibar: Čo treba vidieť v africkom raji
  1. Pripojte sa na nový internet už aj v oblasti Gemera a Novohradu
  2. Na Kysuciach budete môcť surfovať na internete rýchlejšie
  3. Na Orave dobre aj s novým optickým internetom
  4. Aj do Liptovského Mikuláša dorazí nová optická sieť
  5. Najnovšia ponuka optického internetu na Spiši
  6. V oblasti Prešova budete môcť využiť nový optický internet
  7. V okolí Levíc budete mať možnosť využiť nový, rýchly internet
  8. Moderný a spoľahlivý internet aj na Hornom Zemplíne
  9. Surfujte na novej optickej sieti aj na Dolnom Zemplíne
  10. Už aj v Košiciach sa pripojíte do modernej optickej siete
  1. IBA DNES: Získajte plný prístup na SME.sk na 30 dní zadarmo 15 496
  2. Výskumný park v Rakúsku zistil, ako sa býva najzdravšie 14 665
  3. Lidl je odteraz všade! Vitajte v Lidl e-shope 14 085
  4. 5 rád Ľudmily Kolesárovej, ako napísať projekt a získať grant 8 089
  5. Vysokoškoláci zarobia už o 587 eur viac ako stredoškoláci 8 088
  6. Limitovaná ponuka: balík SME.sk + DIGI GO so zľavou až 52 % 7 772
  7. Bývať v novom sa dá aj bez hypotéky (a založenia nehnuteľnosti) 7 745
  8. Čo na aute vymyslela žena a čo výrobca telefónov? 7 378
  9. Zanzibar: Čo treba vidieť v africkom raji 7 372
  10. Karibik: Dokonalý oddych v špičkových hoteloch 6 402

Téma: Stĺpček o logike


Hlavné správy zo Sme.sk

Sudca Lindtner z Threemy: Kočner si tyká so všetkými, no jeho vplyv sa preceňuje

Na zabíjačke u Rehákovcov bol aj predseda bratislavského súdu. Kvôli Kočnerovi neodišiel.

Dávid Lindtner.
Stĺpček Matúša Krčmárika

Sobota sa už nemôže zopakovať. Ak sa brexit neposunie, škodí to všetkým

Johnson koná proti zmyslu zákona.

Matúš Krčmárik
Boris Johnson zažil v parlamente ďalšiu prehru.

Každému kto daroval spermie, môžu raz zaklopať deti na dvere

Príbeh desiatok detí a ich darcu spermií.

Poľský reportér a publicista. Študoval žurnalistiku, holandčinu a sociológiu na univerzite vo Vroclave, a potom ročný reportážny program vo Varšave. Pracuje v neziskovke Instytut Reportażu (Reportážny inštitút) vo Varšave a ako novinár na voľnej nohe. Jeho prvá kniha nedávno vyšla na Slovensku pod názvom Všechny Louisovy děti. V súčasnosti píše tretiu knihu, ktorá bude o súčasnom Holandsku. Je ženatý a je hrdým otcom deväťmesačnej dcérky. Na Slovensko prišiel na diskusiu na festivale Jeden svet.

Neprehliadnite tiež

Kosti bojovníkov, ktorí padli v bitke pri rieke Tollense pred približne 3300 rokmi. V Európe predstavuje vôbec prvý dôkaz o prehistorickom bojisku.
Ostrov Bogoslof odfotený 10. januára 2017.
V Luxore našli 30 starovekých rakví.
Pozostatky veľryby, na ktorých si pochutnávajú hlbokomorské živočíchy.