LOGIKA PRE KAŽDÉHO

Stĺpček o logike: Ako si urobiť z nášho jazyka rovnice

Prirodzený jazyk alebo matematické rovnice? A čo je to Booleova algebra logiky?

(Zdroj: ILUSTRAČNÉ - WIKIMEDIA)
Logika pre každého je pravidelná séria stĺpčekov o logike pripravená v spolupráci s Katedrou logiky a metodológie vied FF UK.

Bádatelia, ktorí boli presvedčení o potrebe čo najpresnejšie vyjadrovať aj bežné myšlienky, sa oddávna snažili exaktnosť matematických výpočtov dosiahnuť aj pri „manipulácii“ s pojmami a vetami prirodzeného jazyka.

Mali im na to slúžiť rozličné stroje, „kalkulačky“, ktoré by počítali s pojmami či vetami tak, ako sa počíta s číslami. Nemecký matematik a filozof G. W. Leibniz (vraj so slovanskými koreňmi) prišiel koncom 17. storočia s ideou, že závery vedeckých diskusií by sa mali dať vypočítať rovnako, ako sa dá vypočítať matematická rovnica.

Dôležitý krok v tomto smere sa podarilo urobiť až v 19. storočí. Anglický matematik a logik George Boole (1815 – 1864) dielom The Mathe­matical Analysis of Logic, vydaným v roku 1847, a nezávisle britský matematik a logik August de Morgan dielom Formal Logic, vydaným v tom istom roku (dokonca sa vraj obe dostali do kníhkupectiev v ten istý deň), otvárajú obdobie tzv. modernej logiky.

Moderná logika

Modernosť tejto logiky spočíva najmä v používaní moderných algebraických prostriedkov na reprezentáciu logických pravidiel a zákonov.

Základné Boolove intuície boli tieto: dá sa koncipovať kalkul, v ktorom by sa „počítalo“ s inými entitami ako s číslami; tento kalkul by bol podobný, hoci nie úplne, aritmetike.

Boole vypracoval kalkul, ktorý mal najmenej dve odlišné interpretácie. Jednou zamýšľanou interpretáciou bola elementárna teória množín. Druhou zamýšľanou interpretáciou bola výroková logika – reprezen­tácia spôsobov spájania jednoduchších výrokov do zložených.

Systém Booleovej algebry využíval veľmi primitívny jazyk, v ktorom boli okrem zhodnosti (≡) len mená troch operácií (spojenie - , priesek - , komplement - ~), dvoch konštánt (nulový a univerzálny prvok) a mená premenných (všetky formuly s premennými tohto kalkulu sú všeobecné, ako sa to bežne predpokladá v aritmetike).

Axiómy systému stanovovali vlastnosti uvedených operácií, z ktorých niektoré boli analogické aritmetickým operáciám.

Napríklad operácie sú

asociatívne – nezáleží na poradí vykonania operácie prieseku alebo spojenia s viacerými (tromi) premennými (x(yz) ≡ (xy)z; x(yz) ≡ (xy)) podobne, ako v aritmetike sčítanie a násobenie;

komutatívne - nezáleží na poradí argumentov pri vykonaní operácie (xy ≡ yx; xy ≡ yx), a ešte ďalšie.

Iné axiómy už zachytávali vlastnosti operácií, ktoré neboli podobné aritmetickým operáciám. Napríklad spojenie (priesek) objektu so sebou samým je zhodný s týmto objektom - xx ≡ x (x x ≡ x), čo už nemá analógiu s operáciami sčítania a násobenia z aritmetiky. Rovnako distributívnosť operácie spojenia nemala analógiu v aritmetike - (y•z) ≡ (xy)•(xz).

Dve rôzne interpretácie

Ak si pojmy vysvetľujeme pomocou ich rozsahov, tak množinová interpretácia Booleovej algebry sa hodí na manipuláciu s pojmami: operácia spojenia bude chápaná ako zjednotenie dvoch (rozsahov) pojmov, operáciaprieseku bude chápaná ako prienik dvoch (rozsahov) pojmov, operácia komplementu ako doplnok k (rozsahu) pojmu.

Výrokovo-logická interpretácia Booleovej algebry nám umožňuje použiť túto algebru na manipuláciu s výrokmi: operácia spojenia bude chápaná ako disjunkcia (spojka alebo) dvoch výrokov, operáciaprieseku bude chápaná ako konjunkcia (spojka a) dvoch výrokov, operácia komplementu ako negácia výroku.

Rozdiel medzi množinovým modelom a výrokovým modelom Booleovej al­gebry spočíva najmä v tom, že pole množín vo všeobecnosti obsahuje viac ako dva prvky (okrem iného vždy prázdnu množinu a univerzálnu množinu (triedu), naproti tomu pole výrokov obsahuje práve dva prvky, ktoré sú totožné s konštantami1 a0 (pravda; nepravda).

Boole navrhol prepisovať jednotlivé druhy subjekt-predikátových výrokov kategorického sylogizmu ako rovnice v algebre logiky, a to napríklad takto:

Všeobecný kladný výrok – napríklad Každý človek (Č) je stavovec (S) – môžeme zachytiť pomocou prieniku () množín: ČS = Č; alebo pomocou zjednotenia () množín: ČS = S.

Opisne: rozsah pojmu človek je podradený rozsahu pojmu stavovec (z rozsahu pojmu človek sa nič nestratí prienikom s rozsahom nadradeného pojmu stavovec); resp. rozsah pojmu človek nepridá nič navyše k rozsahu nadradeného pojmu stavovec.

Spájanie dvoch výrokov do zloženého výroku sa riadi tými istými axiómami. Napríklad nech A je výrok a B je pravdivý výrok (analógia nadradeného pojmu), potom:

1) pravdivostná hodnota (Ph) konjunkcie týchto dvoch výrokov je rovnaká ako pravdivostná hodnota výroku A ( (Ph(A) 1) Ph(A));

2) pravdivostná hodnota disjunkcie týchto dvoch výrokov je rovnaká (ekvivalentná) ako pravdivostná hodnota výroku B, t.j. pravda ( (Ph(A) 1) 1).

Prevratný objav

Boole svojou algebrou logiky takto demonštroval prevratný objav: dve, dovtedy považované za veľmi odlišné, oblasti – oblasť pojmov a oblasť výrokov – sú si veľmi blízke a na korektné narábanie s nimi nám slúži jeden a ten istý kalkul – tá istá algebraická logika.

Boole takto dokázal, že logická štruktúra toho, o čom sú vety prirodzeného jazyka, sa v zásade dá zapísať rovnako presne, exaktne ako v aritmetike zachytávame rovnicami vzťahy medzi číslami a operáciami medzi nimi: vety prirodzeného jazyka sa mohli zapisovať ako rovnice algebraického kalkulu a závery úsudkov vedeckých diskusií sa mohli vypočítať ako rovnice.

Hoci toto exaktné zobrazenie sa týkalo len určitých spôsobov spájania pojmov a výrokov, predsa sa podaril dôležitý krok v naplnení dávnej túžby o presnosť usudzovania v prirodzenom jazyku.

Autor je logik a bývalý rektor Univerzity Komenského.

Najčítanejšie na SME Tech


Inzercia - Tlačové správy


  1. Štatutári, máte už prístup k elektronickej schránke?
  2. Zabudnite na nové a neekologické PC. Je tu Refurbished!
  3. Volkswagen Arteon je výkladná skriňa technológií
  4. Yeme chce byť výnimočný obchod aj vďaka výnimočným zamestnancom
  5. Lepšie bývať na vidieku, alebo v meste? Hľadali sme výhody
  6. Poznáte pôvod slovenských slov? Otestujte sa
  7. Plavba po Karibiku na luxusnej lodi
  8. Hyundai H350 je dokonale spoľahlivým partnerom pre biznis
  9. Študenti majú na získanie 30 € ešte 20 dní
  10. Domácnosť, ktorá šetrí sama? Aj u nás je to už realitou
  1. Profesionálne sa predaj nehnuteľností dá robiť jedine exkluzívne
  2. HÝBSA Slovensko odštartovalo turné po Slovensku. Buďte pri tom!
  3. Každý štvrtý 70-tnik na Slovensku má cukrovku, pribúdajú mladší
  4. 5 hviezdičkové apartmány priamo na pobreží - Dubrovník
  5. Stavba domu na kľúč – úspora času aj financií
  6. Štatutári, máte už prístup k elektronickej schránke?
  7. Nová veľvyslankyňa Turecka na návšteve EU v Bratislave
  8. Prijatie delegácie rektorov ekonomických univerzít z Indonézie
  9. Čím všetkým som si prešla, aby som sa naučila po anglicky
  10. Zabudnite na nové a neekologické PC. Je tu Refurbished!
  1. Poznáte pôvod slovenských slov? Otestujte sa 14 401
  2. Lepšie bývať na vidieku, alebo v meste? Hľadali sme výhody 9 637
  3. Plavba po Karibiku na luxusnej lodi 9 296
  4. Čím všetkým som si prešla, aby som sa naučila po anglicky 6 218
  5. Hyundai H350 je dokonale spoľahlivým partnerom pre biznis 6 124
  6. Volkswagen Arteon je výkladná skriňa technológií 5 271
  7. Yeme chce byť výnimočný obchod aj vďaka výnimočným zamestnancom 5 112
  8. Domácnosť, ktorá šetrí sama? Aj u nás je to už realitou 5 060
  9. Desať obľúbených miest v Chorvátsku 4 304
  10. Študenti majú na získanie 30 € ešte 20 dní 4 300

Téma: Stĺpček o logike


Hlavné správy zo Sme.sk

ŽENA

Chcete vyzerať atraktívnejšie? Mali by ste sa vyspať

Vedci oficiálne potvrdili, že dostatok spánku súvisí s tým, ako pôsobí náš výzor na ostatných.

DOMOV

Generálny prokurátor navrhol zrušiť Kotlebovu stranu

Najvyšší súd obdržal podnet na rozpustenie ĽSNS.

KOMENTÁRE

Máme na viac, než zborovičkovaní bliakať Slovenskoooo

Máme potenciál byť jednou z najlepších krajín.

Neprehliadnite tiež

Rozlúštili kód, ktorým Volkswagen klamal pri emisiách

Ak by niekto analyzoval kód dostupný na webe, celá aféra mohla prasknúť už pred niekoľkými rokmi.

Kto klope pri dverách? Nový domový alarm rozpozná kamerou autá

Senzory ktoré snímajú pohyb, zvuk či rozpojenie kontaktov už nestačia. Doba pýta viac detailov.

Mesiac som žil v inteligentnej domácnosti. A takto to dopadlo

Moderná, zábavná a zaujímavá. Inteligentná domácnosť je ale drahá a slovenským príkazom zatiaľ nerozumie.

Google vie, či ste v obchode nakúpili, čo ste videli v reklame na webe

Nové analytické nástroje sledujú v dátach vaše nákupné správanie.