LOGIKA PRE KAŽDÉHO

Stĺpček o logike: Ako si urobiť z nášho jazyka rovnice

Prirodzený jazyk alebo matematické rovnice? A čo je to Booleova algebra logiky?

(Zdroj: ILUSTRAČNÉ - WIKIMEDIA)
Logika pre každého je pravidelná séria stĺpčekov o logike pripravená v spolupráci s Katedrou logiky a metodológie vied FF UK.

Bádatelia, ktorí boli presvedčení o potrebe čo najpresnejšie vyjadrovať aj bežné myšlienky, sa oddávna snažili exaktnosť matematických výpočtov dosiahnuť aj pri „manipulácii“ s pojmami a vetami prirodzeného jazyka.

Mali im na to slúžiť rozličné stroje, „kalkulačky“, ktoré by počítali s pojmami či vetami tak, ako sa počíta s číslami. Nemecký matematik a filozof G. W. Leibniz (vraj so slovanskými koreňmi) prišiel koncom 17. storočia s ideou, že závery vedeckých diskusií by sa mali dať vypočítať rovnako, ako sa dá vypočítať matematická rovnica.

Dôležitý krok v tomto smere sa podarilo urobiť až v 19. storočí. Anglický matematik a logik George Boole (1815 – 1864) dielom The Mathe­matical Analysis of Logic, vydaným v roku 1847, a nezávisle britský matematik a logik August de Morgan dielom Formal Logic, vydaným v tom istom roku (dokonca sa vraj obe dostali do kníhkupectiev v ten istý deň), otvárajú obdobie tzv. modernej logiky.

Moderná logika

Modernosť tejto logiky spočíva najmä v používaní moderných algebraických prostriedkov na reprezentáciu logických pravidiel a zákonov.

Základné Boolove intuície boli tieto: dá sa koncipovať kalkul, v ktorom by sa „počítalo“ s inými entitami ako s číslami; tento kalkul by bol podobný, hoci nie úplne, aritmetike.

Boole vypracoval kalkul, ktorý mal najmenej dve odlišné interpretácie. Jednou zamýšľanou interpretáciou bola elementárna teória množín. Druhou zamýšľanou interpretáciou bola výroková logika – reprezen­tácia spôsobov spájania jednoduchších výrokov do zložených.

Systém Booleovej algebry využíval veľmi primitívny jazyk, v ktorom boli okrem zhodnosti (≡) len mená troch operácií (spojenie - , priesek - , komplement - ~), dvoch konštánt (nulový a univerzálny prvok) a mená premenných (všetky formuly s premennými tohto kalkulu sú všeobecné, ako sa to bežne predpokladá v aritmetike).

Axiómy systému stanovovali vlastnosti uvedených operácií, z ktorých niektoré boli analogické aritmetickým operáciám.

Napríklad operácie sú

asociatívne – nezáleží na poradí vykonania operácie prieseku alebo spojenia s viacerými (tromi) premennými (x(yz) ≡ (xy)z; x(yz) ≡ (xy)) podobne, ako v aritmetike sčítanie a násobenie;

komutatívne - nezáleží na poradí argumentov pri vykonaní operácie (xy ≡ yx; xy ≡ yx), a ešte ďalšie.

Iné axiómy už zachytávali vlastnosti operácií, ktoré neboli podobné aritmetickým operáciám. Napríklad spojenie (priesek) objektu so sebou samým je zhodný s týmto objektom - xx ≡ x (x x ≡ x), čo už nemá analógiu s operáciami sčítania a násobenia z aritmetiky. Rovnako distributívnosť operácie spojenia nemala analógiu v aritmetike - (y•z) ≡ (xy)•(xz).

Dve rôzne interpretácie

Ak si pojmy vysvetľujeme pomocou ich rozsahov, tak množinová interpretácia Booleovej algebry sa hodí na manipuláciu s pojmami: operácia spojenia bude chápaná ako zjednotenie dvoch (rozsahov) pojmov, operáciaprieseku bude chápaná ako prienik dvoch (rozsahov) pojmov, operácia komplementu ako doplnok k (rozsahu) pojmu.

Výrokovo-logická interpretácia Booleovej algebry nám umožňuje použiť túto algebru na manipuláciu s výrokmi: operácia spojenia bude chápaná ako disjunkcia (spojka alebo) dvoch výrokov, operáciaprieseku bude chápaná ako konjunkcia (spojka a) dvoch výrokov, operácia komplementu ako negácia výroku.

Rozdiel medzi množinovým modelom a výrokovým modelom Booleovej al­gebry spočíva najmä v tom, že pole množín vo všeobecnosti obsahuje viac ako dva prvky (okrem iného vždy prázdnu množinu a univerzálnu množinu (triedu), naproti tomu pole výrokov obsahuje práve dva prvky, ktoré sú totožné s konštantami1 a0 (pravda; nepravda).

Boole navrhol prepisovať jednotlivé druhy subjekt-predikátových výrokov kategorického sylogizmu ako rovnice v algebre logiky, a to napríklad takto:

Všeobecný kladný výrok – napríklad Každý človek (Č) je stavovec (S) – môžeme zachytiť pomocou prieniku () množín: ČS = Č; alebo pomocou zjednotenia () množín: ČS = S.

Opisne: rozsah pojmu človek je podradený rozsahu pojmu stavovec (z rozsahu pojmu človek sa nič nestratí prienikom s rozsahom nadradeného pojmu stavovec); resp. rozsah pojmu človek nepridá nič navyše k rozsahu nadradeného pojmu stavovec.

Spájanie dvoch výrokov do zloženého výroku sa riadi tými istými axiómami. Napríklad nech A je výrok a B je pravdivý výrok (analógia nadradeného pojmu), potom:

1) pravdivostná hodnota (Ph) konjunkcie týchto dvoch výrokov je rovnaká ako pravdivostná hodnota výroku A ( (Ph(A) 1) Ph(A));

2) pravdivostná hodnota disjunkcie týchto dvoch výrokov je rovnaká (ekvivalentná) ako pravdivostná hodnota výroku B, t.j. pravda ( (Ph(A) 1) 1).

Prevratný objav

Boole svojou algebrou logiky takto demonštroval prevratný objav: dve, dovtedy považované za veľmi odlišné, oblasti – oblasť pojmov a oblasť výrokov – sú si veľmi blízke a na korektné narábanie s nimi nám slúži jeden a ten istý kalkul – tá istá algebraická logika.

Boole takto dokázal, že logická štruktúra toho, o čom sú vety prirodzeného jazyka, sa v zásade dá zapísať rovnako presne, exaktne ako v aritmetike zachytávame rovnicami vzťahy medzi číslami a operáciami medzi nimi: vety prirodzeného jazyka sa mohli zapisovať ako rovnice algebraického kalkulu a závery úsudkov vedeckých diskusií sa mohli vypočítať ako rovnice.

Hoci toto exaktné zobrazenie sa týkalo len určitých spôsobov spájania pojmov a výrokov, predsa sa podaril dôležitý krok v naplnení dávnej túžby o presnosť usudzovania v prirodzenom jazyku.

Autor je logik a bývalý rektor Univerzity Komenského.

Na spracúvanie osobných údajov sa vzťahujú Zásady ochrany osobných údajov a Pravidlá používania cookies. Pred zadaním e-mailovej adresy sa, prosím, dôkladne oboznámte s týmito dokumentmi.

Najčítanejšie na SME Tech

Inzercia - Tlačové správy

  1. Špeciálna príloha: Krížovky na leto
  2. Šesť dôvodov, prečo sa oplatí cestovať do Ruska
  3. S kreditkou začína pohodová dovolenka už na letisku
  4. Zmrzlina v Mekáči má u nás kratšiu záruku ako v Rakúsku. Prečo?
  5. Veríte brusniciam pri zápaloch močových ciest? Nemusia stačiť
  6. Aká je ideálna vlhkosť a teplota v byte? Výskum hovorí jasne
  7. Vyberiete si radšej romantický Paríž alebo slnečné Nice?
  8. Dobrú chuť: Letné šaláty a bizarné praktiky food fotografie
  9. O asistovanej reprodukcii sa šíri množstvo zavádzajúcich tvrdení
  10. Pivovar Šariš rozdá tisíce eur, o časti peňazí rozhodnú ľudia
  1. Šesť dôvodov, prečo sa oplatí cestovať do Ruska
  2. Špeciálna príloha: Krížovky na leto
  3. Najpredávanejšou jazdenkou v tuzemsku bola Škoda Octavia
  4. Gopass-dovolenka, ktorá sa oplatí
  5. OMV robí dovolenku pre vodičov oddychom
  6. OMV robí dovolenku pre vodičov oddychom
  7. S kreditkou začína pohodová dovolenka už na letisku
  8. Zmrzlina v Mekáči má u nás kratšiu záruku ako v Rakúsku. Prečo?
  9. Dubravské Čerešne majú sladké prekvapenie pre najrýchlejších!
  10. Aká je ideálna vlhkosť a teplota v byte? Výskum hovorí jasne
  1. Aká je ideálna vlhkosť a teplota v byte? Výskum hovorí jasne 32 697
  2. Zmrzlina v Mekáči má u nás kratšiu záruku ako v Rakúsku. Prečo? 21 710
  3. Infografika: Slováci minuli na Pohode historicky najviac peňazí 20 351
  4. Dobrú chuť: Letné šaláty a bizarné praktiky food fotografie 10 400
  5. Šesť dôvodov, prečo sa oplatí cestovať do Ruska 9 836
  6. Vyberiete si radšej romantický Paríž alebo slnečné Nice? 6 385
  7. Veríte brusniciam pri zápaloch močových ciest? Nemusia stačiť 4 733
  8. O asistovanej reprodukcii sa šíri množstvo zavádzajúcich tvrdení 3 661
  9. Pivovar Šariš rozdá tisíce eur, o časti peňazí rozhodnú ľudia 2 793
  10. S kreditkou začína pohodová dovolenka už na letisku 2 248

Téma: Stĺpček o logike


Hlavné správy zo Sme.sk

SVET

Noční vlci: nielen motorkári, ale aj Putinovi žoldnieri

Gang ruských motorkárov je prepojený na Kremeľ, v Európe môže šíriť nielen propagandu.

ŠPORT

Sagan vie, že vyhrá. Len musím prísť do Paríža, hovorí

Slovák má na čele bodovacej súťaže už prakticky nedostižný náskok.

PRIMÁR

Ako dlho zostane nikotín v tele po poslednej cigarete?

Kedy sa nikotín odbúra z krvi a komu to trvá najdlhšie.

Neprehliadnite tiež

Čo robiť, aby sa vám v lete neprehrieval telefón

Nedávajte telefón do mrazničky.

PODCAST ZOOM

Zoom: Globálne otepľovanie ukázali cyklistické preteky

Čo nám cyklistika hovorí o zmene klímy.