LOGIKA PRE KAŽDÉHO

Stĺpček o logike: Ako si urobiť z nášho jazyka rovnice

Prirodzený jazyk alebo matematické rovnice? A čo je to Booleova algebra logiky?

(Zdroj: ILUSTRAČNÉ - WIKIMEDIA)
Logika pre každého je pravidelná séria stĺpčekov o logike pripravená v spolupráci s Katedrou logiky a metodológie vied FF UK.

Bádatelia, ktorí boli presvedčení o potrebe čo najpresnejšie vyjadrovať aj bežné myšlienky, sa oddávna snažili exaktnosť matematických výpočtov dosiahnuť aj pri „manipulácii“ s pojmami a vetami prirodzeného jazyka.

Mali im na to slúžiť rozličné stroje, „kalkulačky“, ktoré by počítali s pojmami či vetami tak, ako sa počíta s číslami. Nemecký matematik a filozof G. W. Leibniz (vraj so slovanskými koreňmi) prišiel koncom 17. storočia s ideou, že závery vedeckých diskusií by sa mali dať vypočítať rovnako, ako sa dá vypočítať matematická rovnica.

Dôležitý krok v tomto smere sa podarilo urobiť až v 19. storočí. Anglický matematik a logik George Boole (1815 – 1864) dielom The Mathe­matical Analysis of Logic, vydaným v roku 1847, a nezávisle britský matematik a logik August de Morgan dielom Formal Logic, vydaným v tom istom roku (dokonca sa vraj obe dostali do kníhkupectiev v ten istý deň), otvárajú obdobie tzv. modernej logiky.

Moderná logika

Modernosť tejto logiky spočíva najmä v používaní moderných algebraických prostriedkov na reprezentáciu logických pravidiel a zákonov.

Základné Boolove intuície boli tieto: dá sa koncipovať kalkul, v ktorom by sa „počítalo“ s inými entitami ako s číslami; tento kalkul by bol podobný, hoci nie úplne, aritmetike.

Boole vypracoval kalkul, ktorý mal najmenej dve odlišné interpretácie. Jednou zamýšľanou interpretáciou bola elementárna teória množín. Druhou zamýšľanou interpretáciou bola výroková logika – reprezen­tácia spôsobov spájania jednoduchších výrokov do zložených.

Systém Booleovej algebry využíval veľmi primitívny jazyk, v ktorom boli okrem zhodnosti (≡) len mená troch operácií (spojenie - , priesek - , komplement - ~), dvoch konštánt (nulový a univerzálny prvok) a mená premenných (všetky formuly s premennými tohto kalkulu sú všeobecné, ako sa to bežne predpokladá v aritmetike).

Axiómy systému stanovovali vlastnosti uvedených operácií, z ktorých niektoré boli analogické aritmetickým operáciám.

Napríklad operácie sú

asociatívne – nezáleží na poradí vykonania operácie prieseku alebo spojenia s viacerými (tromi) premennými (x(yz) ≡ (xy)z; x(yz) ≡ (xy)) podobne, ako v aritmetike sčítanie a násobenie;

komutatívne - nezáleží na poradí argumentov pri vykonaní operácie (xy ≡ yx; xy ≡ yx), a ešte ďalšie.

Iné axiómy už zachytávali vlastnosti operácií, ktoré neboli podobné aritmetickým operáciám. Napríklad spojenie (priesek) objektu so sebou samým je zhodný s týmto objektom - xx ≡ x (x x ≡ x), čo už nemá analógiu s operáciami sčítania a násobenia z aritmetiky. Rovnako distributívnosť operácie spojenia nemala analógiu v aritmetike - (y•z) ≡ (xy)•(xz).

Dve rôzne interpretácie

Ak si pojmy vysvetľujeme pomocou ich rozsahov, tak množinová interpretácia Booleovej algebry sa hodí na manipuláciu s pojmami: operácia spojenia bude chápaná ako zjednotenie dvoch (rozsahov) pojmov, operáciaprieseku bude chápaná ako prienik dvoch (rozsahov) pojmov, operácia komplementu ako doplnok k (rozsahu) pojmu.

Výrokovo-logická interpretácia Booleovej algebry nám umožňuje použiť túto algebru na manipuláciu s výrokmi: operácia spojenia bude chápaná ako disjunkcia (spojka alebo) dvoch výrokov, operáciaprieseku bude chápaná ako konjunkcia (spojka a) dvoch výrokov, operácia komplementu ako negácia výroku.

Rozdiel medzi množinovým modelom a výrokovým modelom Booleovej al­gebry spočíva najmä v tom, že pole množín vo všeobecnosti obsahuje viac ako dva prvky (okrem iného vždy prázdnu množinu a univerzálnu množinu (triedu), naproti tomu pole výrokov obsahuje práve dva prvky, ktoré sú totožné s konštantami1 a0 (pravda; nepravda).

Boole navrhol prepisovať jednotlivé druhy subjekt-predikátových výrokov kategorického sylogizmu ako rovnice v algebre logiky, a to napríklad takto:

Všeobecný kladný výrok – napríklad Každý človek (Č) je stavovec (S) – môžeme zachytiť pomocou prieniku () množín: ČS = Č; alebo pomocou zjednotenia () množín: ČS = S.

Opisne: rozsah pojmu človek je podradený rozsahu pojmu stavovec (z rozsahu pojmu človek sa nič nestratí prienikom s rozsahom nadradeného pojmu stavovec); resp. rozsah pojmu človek nepridá nič navyše k rozsahu nadradeného pojmu stavovec.

Spájanie dvoch výrokov do zloženého výroku sa riadi tými istými axiómami. Napríklad nech A je výrok a B je pravdivý výrok (analógia nadradeného pojmu), potom:

1) pravdivostná hodnota (Ph) konjunkcie týchto dvoch výrokov je rovnaká ako pravdivostná hodnota výroku A ( (Ph(A) 1) Ph(A));

2) pravdivostná hodnota disjunkcie týchto dvoch výrokov je rovnaká (ekvivalentná) ako pravdivostná hodnota výroku B, t.j. pravda ( (Ph(A) 1) 1).

Prevratný objav

Boole svojou algebrou logiky takto demonštroval prevratný objav: dve, dovtedy považované za veľmi odlišné, oblasti – oblasť pojmov a oblasť výrokov – sú si veľmi blízke a na korektné narábanie s nimi nám slúži jeden a ten istý kalkul – tá istá algebraická logika.

Boole takto dokázal, že logická štruktúra toho, o čom sú vety prirodzeného jazyka, sa v zásade dá zapísať rovnako presne, exaktne ako v aritmetike zachytávame rovnicami vzťahy medzi číslami a operáciami medzi nimi: vety prirodzeného jazyka sa mohli zapisovať ako rovnice algebraického kalkulu a závery úsudkov vedeckých diskusií sa mohli vypočítať ako rovnice.

Hoci toto exaktné zobrazenie sa týkalo len určitých spôsobov spájania pojmov a výrokov, predsa sa podaril dôležitý krok v naplnení dávnej túžby o presnosť usudzovania v prirodzenom jazyku.

Autor je logik a bývalý rektor Univerzity Komenského.

Najčítanejšie na SME Tech


Inzercia - Tlačové správy


  1. Síce malí, no výnimoční regionálni dodávatelia. Poznáte ich?
  2. Biznis úver: Lepší tím, stroje, či menej stresu s faktúrami
  3. Volkswagen Touareg jazdí lepšie, než sme čakali
  4. Máte už program pre deti na túto sobotu?
  5. UNIQA poisťovňa sa sťahuje do Einsteinova Business Center
  6. Pätnásť destinácií na letnú dovolenku s odletom z Bratislavy
  7. Chystáte výlet do Rakúska? Toto miesto má najlepšie zážitky
  8. Unikátne defilé vojenskej techniky na zemi aj vo vzduchu
  9. Zabezpečte si svoje auto doteraz neprekonaným VAM systémom
  10. Zažite elektromobilitu na vlastnej koži v up! city
  1. Do we have "Sagans" in language education?
  2. Volkswagen Touareg jazdí lepšie, než sme čakali
  3. Máte už program pre deti na túto sobotu?
  4. Biznis úver: Lepší tím, stroje, či menej stresu s faktúrami
  5. Síce malí, no výnimoční regionálni dodávatelia. Poznáte ich?
  6. Top trendy 2018 v alternatívnych prístupoch ku zdraviu
  7. Ako elektronicky zabezpečiť objekty?
  8. UNIQA poisťovňa sa sťahuje do Einsteinova Business Center
  9. Pätnásť destinácií na letnú dovolenku s odletom z Bratislavy
  10. Realitná činnosť ako podnikanie
  1. Pätnásť destinácií na letnú dovolenku s odletom z Bratislavy 22 829
  2. Chystáte výlet do Rakúska? Toto miesto má najlepšie zážitky 15 686
  3. Jozef Bíreš: Čerstvé potraviny sú pre človeka najhodnotnejšie 12 302
  4. Ako vzniká jeden z najkvalitnejších kolagénov na Slovensku? 8 828
  5. Mladý Slovák vymyslel aplikáciu pre medicínu. 5 047
  6. Unikátne defilé vojenskej techniky na zemi aj vo vzduchu 4 944
  7. Zabezpečte si svoje auto doteraz neprekonaným VAM systémom 3 333
  8. Sú pre nás plesne nebezpečné? 2 600
  9. „Šťastný domov“ nie je fráza: 4 tipy, ako si ho vytvoriť 2 588
  10. Najväčšia šanca získať Daikin Althermu s dotáciou až do 3 700 €! 1 784

Téma: Stĺpček o logike


Hlavné správy zo Sme.sk

autorská strana toma nicholsona

Recept na šťastné manželstvo. To druhé

Ak je skúsenosť matkou múdrosti, prečo nie sú druhé a tretie manželstvá úspešnejšie?

Neprehliadnite tiež

Čo si myslia mamy youtuberov o tom, čo robia ich deti?

Odpovedajú mamy Bekima, Sellasieho a Surovej dcérky.

Stavajú v nich cesty aj mestá. Ľudia ničia chránené územia aj na Slovensku

Deväťdesiat percent chránených území vykazuje stopy po ľudskej činnosti.

Ako si aktivovať a zrušiť odkazovú schránku na mobile

Návody pre hlasové schránky u slovenských operátorov.

Na odvrátenej strane Mesiaca chcú byť prví. Číňania otestujú satelit

Z odvrátenej strany Mesiaca sa so Zemou nedá komunikovať priamo.

Čo spraví izolácia od okolia s mozgom? Strach a hnev spustí jedna chemikália

Výskum na myšiach ukázal, ako vplýva chronická samota na mozog.