LOGIKA PRE KAŽDÉHO

Stĺpček o logike: Ako si urobiť z nášho jazyka rovnice

Prirodzený jazyk alebo matematické rovnice? A čo je to Booleova algebra logiky?

(Zdroj: ILUSTRAČNÉ - WIKIMEDIA)
Logika pre každého je pravidelná séria stĺpčekov o logike pripravená v spolupráci s Katedrou logiky a metodológie vied FF UK.

Bádatelia, ktorí boli presvedčení o potrebe čo najpresnejšie vyjadrovať aj bežné myšlienky, sa oddávna snažili exaktnosť matematických výpočtov dosiahnuť aj pri „manipulácii“ s pojmami a vetami prirodzeného jazyka.

Mali im na to slúžiť rozličné stroje, „kalkulačky“, ktoré by počítali s pojmami či vetami tak, ako sa počíta s číslami. Nemecký matematik a filozof G. W. Leibniz (vraj so slovanskými koreňmi) prišiel koncom 17. storočia s ideou, že závery vedeckých diskusií by sa mali dať vypočítať rovnako, ako sa dá vypočítať matematická rovnica.

Dôležitý krok v tomto smere sa podarilo urobiť až v 19. storočí. Anglický matematik a logik George Boole (1815 – 1864) dielom The Mathe­matical Analysis of Logic, vydaným v roku 1847, a nezávisle britský matematik a logik August de Morgan dielom Formal Logic, vydaným v tom istom roku (dokonca sa vraj obe dostali do kníhkupectiev v ten istý deň), otvárajú obdobie tzv. modernej logiky.

Moderná logika

Modernosť tejto logiky spočíva najmä v používaní moderných algebraických prostriedkov na reprezentáciu logických pravidiel a zákonov.

Základné Boolove intuície boli tieto: dá sa koncipovať kalkul, v ktorom by sa „počítalo“ s inými entitami ako s číslami; tento kalkul by bol podobný, hoci nie úplne, aritmetike.

Boole vypracoval kalkul, ktorý mal najmenej dve odlišné interpretácie. Jednou zamýšľanou interpretáciou bola elementárna teória množín. Druhou zamýšľanou interpretáciou bola výroková logika – reprezen­tácia spôsobov spájania jednoduchších výrokov do zložených.

Systém Booleovej algebry využíval veľmi primitívny jazyk, v ktorom boli okrem zhodnosti (≡) len mená troch operácií (spojenie - , priesek - , komplement - ~), dvoch konštánt (nulový a univerzálny prvok) a mená premenných (všetky formuly s premennými tohto kalkulu sú všeobecné, ako sa to bežne predpokladá v aritmetike).

Axiómy systému stanovovali vlastnosti uvedených operácií, z ktorých niektoré boli analogické aritmetickým operáciám.

Napríklad operácie sú

asociatívne – nezáleží na poradí vykonania operácie prieseku alebo spojenia s viacerými (tromi) premennými (x(yz) ≡ (xy)z; x(yz) ≡ (xy)) podobne, ako v aritmetike sčítanie a násobenie;

komutatívne - nezáleží na poradí argumentov pri vykonaní operácie (xy ≡ yx; xy ≡ yx), a ešte ďalšie.

Iné axiómy už zachytávali vlastnosti operácií, ktoré neboli podobné aritmetickým operáciám. Napríklad spojenie (priesek) objektu so sebou samým je zhodný s týmto objektom - xx ≡ x (x x ≡ x), čo už nemá analógiu s operáciami sčítania a násobenia z aritmetiky. Rovnako distributívnosť operácie spojenia nemala analógiu v aritmetike - (y•z) ≡ (xy)•(xz).

Dve rôzne interpretácie

Ak si pojmy vysvetľujeme pomocou ich rozsahov, tak množinová interpretácia Booleovej algebry sa hodí na manipuláciu s pojmami: operácia spojenia bude chápaná ako zjednotenie dvoch (rozsahov) pojmov, operáciaprieseku bude chápaná ako prienik dvoch (rozsahov) pojmov, operácia komplementu ako doplnok k (rozsahu) pojmu.

Výrokovo-logická interpretácia Booleovej algebry nám umožňuje použiť túto algebru na manipuláciu s výrokmi: operácia spojenia bude chápaná ako disjunkcia (spojka alebo) dvoch výrokov, operáciaprieseku bude chápaná ako konjunkcia (spojka a) dvoch výrokov, operácia komplementu ako negácia výroku.

Rozdiel medzi množinovým modelom a výrokovým modelom Booleovej al­gebry spočíva najmä v tom, že pole množín vo všeobecnosti obsahuje viac ako dva prvky (okrem iného vždy prázdnu množinu a univerzálnu množinu (triedu), naproti tomu pole výrokov obsahuje práve dva prvky, ktoré sú totožné s konštantami1 a0 (pravda; nepravda).

Boole navrhol prepisovať jednotlivé druhy subjekt-predikátových výrokov kategorického sylogizmu ako rovnice v algebre logiky, a to napríklad takto:

Všeobecný kladný výrok – napríklad Každý človek (Č) je stavovec (S) – môžeme zachytiť pomocou prieniku () množín: ČS = Č; alebo pomocou zjednotenia () množín: ČS = S.

Opisne: rozsah pojmu človek je podradený rozsahu pojmu stavovec (z rozsahu pojmu človek sa nič nestratí prienikom s rozsahom nadradeného pojmu stavovec); resp. rozsah pojmu človek nepridá nič navyše k rozsahu nadradeného pojmu stavovec.

Spájanie dvoch výrokov do zloženého výroku sa riadi tými istými axiómami. Napríklad nech A je výrok a B je pravdivý výrok (analógia nadradeného pojmu), potom:

1) pravdivostná hodnota (Ph) konjunkcie týchto dvoch výrokov je rovnaká ako pravdivostná hodnota výroku A ( (Ph(A) 1) Ph(A));

2) pravdivostná hodnota disjunkcie týchto dvoch výrokov je rovnaká (ekvivalentná) ako pravdivostná hodnota výroku B, t.j. pravda ( (Ph(A) 1) 1).

Prevratný objav

Boole svojou algebrou logiky takto demonštroval prevratný objav: dve, dovtedy považované za veľmi odlišné, oblasti – oblasť pojmov a oblasť výrokov – sú si veľmi blízke a na korektné narábanie s nimi nám slúži jeden a ten istý kalkul – tá istá algebraická logika.

Boole takto dokázal, že logická štruktúra toho, o čom sú vety prirodzeného jazyka, sa v zásade dá zapísať rovnako presne, exaktne ako v aritmetike zachytávame rovnicami vzťahy medzi číslami a operáciami medzi nimi: vety prirodzeného jazyka sa mohli zapisovať ako rovnice algebraického kalkulu a závery úsudkov vedeckých diskusií sa mohli vypočítať ako rovnice.

Hoci toto exaktné zobrazenie sa týkalo len určitých spôsobov spájania pojmov a výrokov, predsa sa podaril dôležitý krok v naplnení dávnej túžby o presnosť usudzovania v prirodzenom jazyku.

Autor je logik a bývalý rektor Univerzity Komenského.

Najčítanejšie na SME Tech


Inzercia - Tlačové správy


  1. Už ste niekedy jedli v garáži? Tá v Trenčíne stojí za to
  2. Staré Dobré Mexiko: Už vieme prečo východniari chvália Šariš
  3. Objavte netušené možnosti nových firemných kreditných kariet
  4. Najväčšie first moment zľavy končia vo februári
  5. Boj s podvodníkmi stáčajúcimi odometre stojí bazáre státisíce
  6. Bezpečné a prestížne bývanie v Bratislave s novým symbolom mesta
  7. Prečo majú Slováci stále radšej hypotéku ako prenájom?
  8. Jarné prázdniny pri mori?
  9. Klasickým gastrolístkom konkuruje už aj nová stravovacia karta
  10. Ceny bytov vo veľkých mestách prekonali historický rekord
  1. Už ste niekedy jedli v garáži? Tá v Trenčíne stojí za to
  2. Staré Dobré Mexiko: Už vieme prečo východniari chvália Šariš
  3. Dokázali by ste nakúpiť so zavretými očami?
  4. Objavte netušené možnosti nových firemných kreditných kariet
  5. Stanovisko Klubu pre Bratislavu k zákazu hazardu v Bratislave
  6. Najväčšie first moment zľavy končia vo februári
  7. Mesto Medzev v Charte európskych vidieckych obcí
  8. Valentínska nálada v Poluse pokračuje
  9. M.Borguľa vyzýva veľvyslanca USA k urýchlenému odstráneniu plota
  10. Ušetrite s hypotékou viac ako 1 200 eur
  1. Prečo majú Slováci stále radšej hypotéku ako prenájom? 17 701
  2. Boj s podvodníkmi stáčajúcimi odometre stojí bazáre státisíce 10 509
  3. Ceny bytov vo veľkých mestách prekonali historický rekord 6 921
  4. Klasickým gastrolístkom konkuruje už aj nová stravovacia karta 6 174
  5. Bezpečné a prestížne bývanie v Bratislave s novým symbolom mesta 5 766
  6. Najväčšie first moment zľavy končia vo februári 5 149
  7. Jarné prázdniny pri mori? 4 032
  8. Jeden z najkrajších interiérov má Meridiana v Prievidzi 3 936
  9. Staré Dobré Mexiko: Už vieme prečo východniari chvália Šariš 3 731
  10. Fakulta manažmentu prepája štúdium a prax cez ďalšie strediská 3 416

Téma: Stĺpček o logike


Hlavné správy zo Sme.sk

KOMENTÁRE

Čo je populizmus a prečo ho možno budeme potrebovať?

Ak ste si mysleli, že viete, čo je populizmus, s najväčšou pravdepodobnosťou ste sa mýlili.

KOMENTÁRE

Sulík sa vyfarbil, ruské noviny ho vytočili

Ruské médiá opisujú údajnú petíciu za vystúpenie Slovenska z EÚ.

PLUS

Trpeli vojaci i rodičia. O šikane na vojenčine vedel aj Husák

Realita Československej ľudovej armády.

ŠPORT

Drastický šport. Prečo Slovenky nezískali medailu

Velez-Zuzulová aj Vlhová jazdia výborne.

Neprehliadnite tiež

Aj Dell vie vyrobiť monitor pre náročného hráča (test Dell S2716DG)

Má maximálne plynulý obraz v hrách, no využijete ho jedine s výkonnými grafickými kartami od Nvidie.

Štyri hry, ktoré vám spríjemnia víkend

Od plánovania hromadnej dopravy cez magické dobrodružstvo, ničenie áut, až po krvavú akciu.

Je kráľ YouTubu fašista, alebo mu médiá nerozumejú?

Felixa Kjellberga sleduje viac ako 50 miliónov ľudí. Teraz ho obvinili, že šíri nenávisť.

Biológovia objavili v mexickej jaskyni mikróby staré 50-tisíc rokov

Podľa vedkyne sú dané mikróby ako stroje času.


Už ste čítali?

Domov NajnovšieNajčítanejšieDesktop