Priam samozrejmá odpoveď je áno, veď v matematike hovoríme o abstraktných entitách ako sú čísla, funkcie, algoritmy a pod., naproti tomu v prirodzenom jazyku hovoríme o veciach z časopriestoru – o ľuďoch, zvieratách, stromoch, mestách a pod.
Tento rozdiel je zásadný. Zástanca matematického jazyka by zdôraznil presnosť tohto jazyka, ktorú prirodzený jazyk nedosahuje, naopak z pohľadu zachytenia presnosti trpí mnohými chybami.
Obhajca bežného jazyka by kontroval, že v prirodzenom jazyku vieme vyjadriť napr. aj emócie – lásku, nenávisť, pohŕdanie a pod., čo zas nemôžeme urobiť v jazyku matematiky. Obaja by sa však mohli zhodnúť na tom, že ide o dva (zásadne) odlišné svety.
Naozaj odlišné svety?
Naozaj je to, o čom a ako tieto jazyka vypovedajú, také odlišné? Zástancovia exaktnosti svojho času navrhovali, aby sme všetky poznatky – aj poznatky spoločenských a humanitných vied vyjadrovali v presnejšom jazyku, ktorého predobrazom mal byť jazyk fyziky – vlastne jazyk, v ktorom sa prostriedkami matematiky modelujú zákonitosti prírody.
Prirodzený jazyk bol považovaný z hľadiska jednoznačnosti a vedeckej presnosti zachytenia poznatkov nedostatočný. Exaktní vedci (aj mnohí logici) konštatovali, že významy jeho výrazov sú často neurčité, nejasné, neostré a tento nedostatok sa týka prirodzeného jazyka ako celku a je neodstrániteľný.
To prvé o nejednoznačnosti významov mnohých (vonkoncom nie všetkých) výrazov bežného jazyka je pravda.
O tom druhom však mnohí bádatelia mali pochybnosti a začali používať na analýzu prirodzeného jazyka matematické a logické metódy. Postupne sa dosahoval čoraz väčší pokrok v tom, čo sa dalo z oblasti významov výrazov prirodzeného jazyka exaktne modelovať. Výskum dnes dospel do štádia, že odpoveď na otázky na začiatku textu by už nemali byť áno.
Hlavná zmena sa udiala vo vysvetlení toho, o čom hovoríme v prirodzenom jazyku. Zdrojom tejto zásadnej zmeny bolo hľadanie vysvetlenia zdanlivo okrajovej záležitosti – vysvetlenia toho, o čom hovoríme v tzv. domnienkových vetách, utvorených pomocou slovies typu myslí si, že...; domnieva sa, že a pod.
Inak dané (čísla)
Prvým, ktorý tento problém v modernej logickej sémantike tematizoval, bol Gottlob Frege a navrhol riešenie, ktoré otváralo cestu správnemu vysvetleniu.
Žiaľ, toto riešenie považoval skôr za ad hoc riešenie vhodné len pre výnimočné situácie – pre vety v tzv. nepriamom kontexte. Jeho hlavná sémantická schéma vysvetľovala napr. rovnosť
(1) 5+7 = 15 - 3
ako analytickú pravdu, kde zložený výraz na ľavej strane rovnosti označoval to isté číslo (12) ako výraz na pravej strane; rozdiel spočíval len v odlišnom spôsobe danosti týchto čísiel. To bolo čudné vysvetlenie, pretože táto rovnosť by sa ipso facto nemala odlišovať od rovnosť
(2) 12 = 12,
čo bolo v rozpore s intuíciou, ktorá dostala u Fregeho vyjadrenia len vo vedľajšom aspekte významu – v onom spôsobe danosti označovaného. Pre nepriame kontexty však boli rozhodujúce práve tieto spôsoby danosti označovaných entít, nie samé entity (denotáty).
Adekvátne vysvetlenie významu domnienkových viet logickí sémantici našli neskôr v dopracovaní pojmu spôsob danosti (denotátu) na pojem intelektuálnej procedúry, štruktúrovanej metódy identifikácie a v zásadnej zmene zacielenia významov priamo na tieto procedúry, nie na pôvodné denotáty.
Jazyk a prirodzený jazyk
Významy zložených výrazov sú akési konštrukcie, ktoré sú syntaktickými prostriedkami priezračne označované. Logická štruktúra podľa takejto priezračnej schémy už nie je skrytá v hlbinných štruktúrach jazyka – aj prirodzený jazyk je z hľadiska zachytenia významu transparentný.
Rovnosť (1) podľa tejto novej schémy je v súlade s matematickou intuíciou a hovorí, že štruktúrovaný výpočet, ktorý obsahuje čísla 5, 7 a operáciu sčítania je vo výsledku zhodný so štruktúrovaným výpočtom, ktorý obsahuje čísla 15, 3 a operáciu odčítania.
Rovnosť (1) je o výpočtoch, ktoré sú odlišné, ale zhodné vo výsledku. Podobne vo vetách:
(3) Nevedko si myslí, že Mesiac je väčší ako Slnko
(4) Nevedko si myslí, že Slnko je menšie ako Mesiac,
sú vyjadrené Nevedkove postoje k odlišným procedúram: v (2) procedúra obsahuje dve indivíduá (Mesiac, Slnko) spojené vzťahom byť väčší ako; v (3) obsahuje tie isté indivíduá spojené vzťahom byť menší ako, ale v opačnom poradí.
Hoci tieto vedľajšie vety majú v každom stave vecí rovnakú pravdivostnú hodnotu, ako štruktúrované procedúry, konštrukcie sa zjavne odlišujú (poradím indivíduí ako korelátov vzťahu a odlišným spôsobom spojenia – vzťahom medzi nimi).
Ak prijmeme takúto priezračnú sémantickú schému ako dostatočne adekvátnu, poľahky môžeme nájsť most podobnosti medzi prirodzeným jazykom a jazykom matematiky.
Závislé a nezávislé pravdy
Vety prirodzeného jazyka podľa takto korigovanej – transparentnej sémantickej schémy – sú o konštrukciách propozícií (tvrdení, súdov, myšlienok). Tieto konštrukcie konštruujú propozície, ktoré sú (vo všeobecnosti) v závislosti na stave vecí pravdivé alebo nepravdivé (pokiaľ sú definované).
Touto časovou závislosťou pravdivostnej hodnoty viet prirodzeného jazyka sa tieto vety odlišujú od viet matematiky, ktoré sú o zložených výpočtoch, algoritmoch a pod., pretože pravdy matematiky nezávisia ani od času ani od empiricky zistiteľného stavu vecí.
Matematika sa podľa tohto vysvetlenia zaoberá predovšetkým zisťovaním ekvivalentnosti rozličných, často veľmi zložitých a niečím zaujímavých konštrukcií, ktoré konštruujú rozmanité matematické objekty, funkcie, algoritmy či iné konštrukcie a pod.
Rozdiel medzi tvrdeniami matematiky a tvrdeniami, vyjadrovanými v prirodzenom jazyku nespočíva ani tak v abstraktnosti objektov matematiky a „konkrétnosti“ objektov prirodzeného jazyka.
Hlbšia logická analýza prirodzeného jazyka ukazuje, že propozičné konštrukcie, zachytávané vetami prirodzeného jazyka svojou abstraktnosťou v princípe nezaostávajú za matematickými konštrukciami.
Ťažkosť pochopenia matematických konštrukcií oproti konštrukciám, ktoré sú zachytené v prirodzenom jazyku, má zrejme okrem iného aj jeden prozaický dôvod: prirodzený jazyk, a teda aj v ňom zachytené manipulácie s propozičnými konštrukciami trénujeme od malička niekoľko hodín denne; narábanie s matematickými konštrukciami v symbolickom jazyku matematiky trénujeme priemerne iba zlomok času oproti tým v prirodzenom jazyku.
Podobný rozdiel je medzi profesionálnym športovcom, ktorý trénuje daný šport od útleho detstva a amatérom, ktorý si daný šport občas zo záľuby zahrá. Preto je rozdiel vo výkonoch pochopiteľný.
Môžeme to teda zhrnúť:
v prirodzenom jazyku aj v jazyku matematiky hovoríme v zásade o rovnakých veciach – o rozličných procedúrach (propozičných konštrukciách), ktoré vo výsledku vedú k určeniu pravdivostnej hodnoty;
v matematike sa však nehovorí o empirických propozíciách a ich konštrukciách, ako je to bežné v prirodzenom jazyku.
Autor je logik a bývalý rektor Univerzity Komenského.
Autor: František Gahér
