„Existujú naivné národy, pre ktoré je každé číslo nad päť veľa,“ hovorí Anatolij Dvurečenskij, riaditeľ Matematického ústavu SAV. „Aj naše malé deti však vedia, že existuje aj niečo ako desať.“
Dnešný svet bez matematiky si asi nedokážeme predstaviť. Aká stará je však matematika?
„Hneď ako sa objavil človek ako človek Homo sapiens, vtedy sa objavila aj matematika. Matematika je taká stará ako ľudstvo. Tu na južnej Morave v Dolných Věstonicích je nielen dobré víno, ale v r. 1937 objavili tam aj Věstonickú Venušu a našli tam aj istú zaujímavú vec - kosť z vlka.
Táto kosť z vlka má 57 zárezov, jeden hrubší a štyri tenšie. Prvých 25 zárezov je jasne usporiadaných do skupín po piatich oddelených dlhším, potom nasledujú dva dlhšie zárezy a na záver ešte 30 zárezov. To naznačuje, že tu máme istý zápis povedzme úlovkov alebo čohosi.
A je zaujímavé, že vtedy si ktosi uvedomoval číslo päť. Takže by sme tu mali mať jeden z najstarších účtovníckych záznamov a dnešnými očami by sme možno mohli aj povedať, že to je asi najstaršie daňové priznanie a to všetko je staré 30-tisíc rokov.
Načo to potrebovali?
„Už pravekí ľudia chodili na poľovačky a museli vedieť, ako nejakým spôsobom počítať. Obrovský objav pre ľudstvo však bolo, keď si ľudia uvedomili, čo majú spoločné tri mamuty tri ženy alebo tri kamene. Odosobnili kvantitu, tú trojku. Samozrejme, pojem čísla sa vyvíjal.“
Ako?
„Ako malé dieťa sa najskôr učíte na prštekoch. Všimnete si, že na jednej ruke máte päť prštekov a na druhej tiež päť. Dodnes jestvujú primitívne národy, ktoré hovoria, že poznajú čísla jedna až päť. A čo je viac ako päť, to už je veľa.“
To toho mnoho nezrátajú.
„Pomaly sa to však stupňovalo a keď sa neskôr objavilo číslo desať, číslo dvadsať, tak už to bol veľký pokrok. My v slovenčine napríklad používame dekadické číslovanie, ale máme aj starú číslicu meruôsmy rok.
Meru je štyridsiatka. Francúzi zase majú dvadsiatku. Osemdesiat sú pre nich štyri dvadsiatky a 95 tiež počítajú takýmto spôsobom.
Pojem sa jednoducho vyvíjal a veľkým pokrokom bol objav nuly. Ukazuje sa totiž, že aj nula je číslo a dokonca je viac, ako keď vám iba čosi chýba.
Pomaly sa tak poznatky rozširovali a vznikla teória čísiel. To sme ešte pred Kristom, u starých Grékov, v starej antike, v Egypte. Tam boli prvé kolísky matematiky.“
Aké?
„Pytagorova veta napríklad. Hovorí, že keď zoberiete pravouhlý trojuholník so stranami a, b, c, tak môžeme zostrojiť pytagorejské nohavice. Tie hovoria, že súčet dvoch štvorcov nad odvesnami sa rovná štvorcu nad preponou. A také krásne pytagorejské číslá sú, keď máme strany 3, 4 a 5. To je dokopy dvanásť, čo je vraj mystické číslo, keďže je dvanásť mesiacov v roku.
V starom Egypte si toto považovali za veľké tajomstvo. Mimochodom, dnes sa to volá Pytagorova veta, no ukazuje sa, že Pytagoras sa s tým zoznámil až keď prišiel do Alexandrie.“
Vráťme sa k nule. Rimania nulu nepoužívali. V čom je nula dôležitá?
„V abstraktnosti. Čo napokon znamená veta „Mám nula mamutov.“? Je to vyšší druh pochopenia. Deti tiež hneď nevedia odpovedať na otázku, čo je to nula.“
Čiže niekto prestal rátať jablká a džbány, ale zrazu...
„Nebolo to zrazu. Boli to generácie, kým k tomu prišlo. Rimania napokon používali rímske číslice a mali dosť komplikované sčitovanie. Našťastie, dnes je to jednoduchšie.“
Ako neutajili odmocniny
Dôvodom presadenia sa arabského zápisu je teda jednoduchosť?
„Je jednoduchší a obsažnejší. Dá vám rýchlejšie a viac informácií. Keď použijete dekadický zápis a umiestenie, stačí vám desať znakov a dokážete vyjadriť každé číslo.“
Ale nie všetky sú také pekné ako pytagorejské čísla.
„Gréci si však všimli inú zaujímavú vec - prirodzené čísla, ako 1,2,3 atď. To sa učia deti na základnej škole. A tieto čísla vieme sčitovať. Zdokonalené sčitovanie, keď sčitujeme rovnaké skupiny, je vlastne násobenie.
Oni si všimli, že keď vezmeme pravouhlý trojuholník s jednotkovými odvesnami, tak prepona sa nedá vyjadriť racionálnym - múdrym - číslom. Teda zlomkom.
Bol to pre nich šok a zároveň prvá kríza matematiky. Ukázalo sa, že určitá predstava o matematike, že všetko je racionálne a existujú zlomky - čo bolo dôležité napríklad pri delení dedičstva - nebola dobrá. Že jestvuje čosi ako iracionálne číslo.
A potom sa neskôr ukázalo, že tých nerozumných, iracionálnych čísel je omnoho viac, ako tých racionálnych.“
Keď zrejme pytagorejci objavili iracionálne čísla, objav sa snažili utajiť. Prečo?
„Nezodpovedalo to ich predstave sveta. Nezabudnime, že pytagorejci objavili aj matematickú krásu v ladení hudobných nástrojov pomocou pomerov najmenších prvočísel, čo umocňovalo ich vieru v racionálne čísla.
Neuvedomovali si, že to znamená, že svet musíme trochu inak chápať. Oni dávali číslam božský nádych dokonalosti a toto bolo porušením tejto dokonalosti.“
Pre niektorých Grékov bolo počítanie istou formou mystiky. Kedy toto zmizlo z matematiky?
„Viete, jestvujú pojmy ako aktuálne nekonečno a iné druhy nekonečna a okolo toho bolo tiež dosť mystiky. Tieto veci však začínali naberať pozemský pôvod zrejme vtedy, keď sa objavila Cantorova teória množín.
No aj keď sa objavila teória množín čísel - čo bola druhá veľká revolúcia v matematike - objavili sa paradoxy. Napríklad, že neexistuje množina všetkých množín, ktoré neobsahujú samé seba.
Bolo si vtedy treba premyslieť, čo je základom matematiky - axiómy. Jeden z prvých axiomatických základov matematiky položil Euklides. A v prípade axiómy o rovnobežkách sa ukázalo, že to môže fungovať aj inak a vznikla tzv. neeuklidovská geometria. Keď neskôr prišiel Einstein, využil to.“
Čiže Euklides je ten moment, odkedy môžeme hovoriť o matematike ako o formalizovanom systéme?
„Euklides dal takýto axiomatický základ geometrii. Potom Cantor, keď prišiel s naivnou teóriou množín. Tam sa tiež objavili niektoré nové paradoxy.
On mal pritom veľmi ťažký život, pretože jeho kolegovia mu nerozumeli. Hoci to všetko boli šikovní matematici, Cantor preskočil dobu. A musela prísť nová generácia matematikov.“
Zhruba v tejto dobe, na prelome 19. a 20. storočia bol veľkým problémom matematiky povedať, čo je vôbec číslo. Vieme už dnes povedať, čo je to „číslo“?
„Záleží, komu a na akej úrovní to chcete povedať. Či v škole, alebo matematikom.“
Čo poviete dieťaťu?
„Opýtam sa ho, koľko má prstov. Koľko vidí vrabcov. Ja to teraz skúšam na vnučke. Musíte však mať určité abstraktné myslenie. Zaujímavé je, že deti ho majú.
Je preto otázne, či matematické danosti sú človeku vrodené, alebo ich získavame učením sa. Ukazuje sa, že skôr vrodené: aj malé bábätká, len niekoľkomesačné, dokázali rozlíšiť dva objekty od troch objektov. Potom však už záleží od prostredia, v akom sa dieťa vyvíja, na akých narazí učiteľov.“
Na intuitívnej úrovni dokáže každý pochopiť aj abstraktný pojem čísla. A ako číslo vysvetľuje matematik matematikovi?
„Čo je to napríklad nekonečne veľa čísiel? Ukazuje sa, že dve konečné množiny sú identické a majú rovnaký počet, len ak medzi nimi jestvuje bijektívne zobrazenie, t.j. spárovanie prvkov jednej množiny s prvkami druhej. Pri nekonečných množinách to je zásadný rozdiel.
Ak si vezmete množinu prirodzených čísel a množinu párnych čísel - to je pravá podmnožina prvej. Ale viete nájsť bijekciu, ktorá priradí číslu n jeho dvojnásobok 2n. To je základný rozdiel medzi konečnými a nekonečnými množinami.“
Nekonečno a iné nekonečno
Čo je číslo síce stále neviem, ale vynára sa iná otázka. Bežný rozum nám hovorí, že párnych čísiel musí byť určite menej ako celých kladných.
„Presne, veď to vidí aj každý slepý. Lenže záleží, ako sa to celé chápe. Napríklad tu vieme urobiť jedno-jednoznačnú bijekciu. A toto bol základný krok Cantora, keď si to všimol.“
Výsledkom teda je, že isté rôzne rady čísiel majú rovnaké mohutnosti. Ale zároveň nie všetky nekonečné sú rovnako veľké.
„Tak. Zoberme si napríklad všetky reálne čísla. Je jasné, že všetkých celých čísel nie je ako reálnych čísiel. Ukazuje sa, že sa nedá skonštruovať taká bijekcia, aby každé reálne číslu zodpovedalo nejakému celému.
Znamená to, že z jednej strany tieto čísla vieme vnoriť, ale naspäť to nejde. Takže máme väčšie a menšie nekonečná.“
Ale keď je niečoho nekonečno, tak ako môže byť niečoho iné nekonečno, ale viac ako to prvé nekonečno?
„Už sme spomínali naivné národy, pre ktoré je číslo nad päť veľa. Aj naše malé deti však vedia, že existuje aj niečo ako desať.
Takže v skutočnosti záleží len na tom, ako k tomu pristupujete. Tu nás trochu zrádza prirodzená intuícia. No keď sa s tým začnete hrať - a v tom je sila matematiky, ktorá dokáže rozlíšiť aj veľké čísla. Pritom aj nuly sú rôzne.“
V čom?
„Niečo ide k nule rýchlejšie a niečo pomalšie. Existujú rôzne alternatívne teórie, napríklad o akýchsi obláčikoch okolo prirodzených čísiel a čísiel, ktoré sú veľmi blízko k nemu. Ale nie sú to tie isté. To je ako povedať, že niečo je veľmi malé alebo veľmi blízko k niečomu. Ale nakoľko malé, ako blízko? Takéto teórie vznikli nedávno.“
Obláčiky?
„Ľudia sa stále vracajú aj k základom, aj k tomu, čo je matematikom jasné. Vždy však môže prísť nejaký väčší rozum a všimne si, že niekde je určitá nezrovnalosť a treba to vyšetriť.
V matematike sa považuje za fajn, keď niečo viete skonštruovať. To sú konštruktívne dôkazy, no sú aj dôkazy, ktoré sú nepriame - niečo napríklad neviete skonštruovať, ale viete, že to musí existovať. To má teoreticky veľký význam, pretože viete, že niečo vôbec môžete urobiť.“
Dá sa akokoľvek zložitá matematická teória spätne zjednodušiť na systém axióm a nejakých pravidiel?
„Ako ktorá. Niekedy sa to dá veľmi pekne. Sú však veci, ktoré keď začnete študovať, ani neviete, či ste ich už pochopili.
Napríklad na slávny kongres matematikov v Paríži v 1904 prišiel David Hilbert a predložil projekt 23 otvorených problémov matematiky. A to sa stalo hnacím motorom matematiky 20. storočia; niektoré sa síce ukázali ako jednoduché, ale niektoré ako veľmi ťažké.
A každý, kto ten oriešok aspoň nalúskol, stal sa slávnym matematikom. Pritom pri niektorých týchto problémoch ani neviete, či už si vyriešené, alebo nie. Lebo ako rástli poznatky, spresňujú sa aj pojmy a vy neviete, či to už je ono, alebo nie.“
Je matematika vedou?
Aký je vzťah matematiky k ostatným vedám. Každá poriadna veda musí pracovať s matematikou?
„My matematici radi tvrdíme, že matematika je kráľovnou všetkých vied, ale aj ich slúžkou.“
To znamená čo?
„My nepotrebujeme experimenty. Nepotrebujeme mikroskopy, ani sledovať geologický materiál. Môžete ležať na pohovke, piť kávu a premýšľať. Je to čistý výsledok ducha.
Matematiku dnes potrebujú všetky odbory. Dokonca aj herci občas priznávajú, že herectvo išli študovať preto, že im nešla matematika - takže matematika je užitočná aj v takomto negatívnom zmysle. Dnes môžete však ísť z odboru do odboru a úroveň vedeckosti daného odboru záleží na tom, nakoľko používa matematické metódy.
Samozrejme, pre matematiku boli spätne veľkou inšpiráciou astronómia, fyzika či celý mikrosvet - kvantová mechanika.“
Mnohé vedecké disciplíny sa vyvinuli z filozofie a matematiky. Mnohé - ak nie všetky - sú od matematiky ako nástroja životne závislé. Je však aj samotná matematika vedou?
„Slušná veda nemôže existovať bez iných vied. Sú si navzájom zdrojom inšpirácií. Keď sa pochopí problém, stačí hlava a znalosti matematiky. Čiže áno, matematika je veda. Ale môžeme špekulovať, či to je prírodná veda, alebo technická, filozofia či kultúra.
Na ulici nenájdete matematický pojem. Nenájdete niekde ležať prvočíslo. Je to však výsledok ducha a v tom je sila matematiky.“
Mení sa spôsob, akým ľudia vnímajú matematiku? Kedysi totiž ľudia museli vedieť do istej miera rátať, dnes to zvládne aj mobilný telefón.
„Samozrejme. Ešte keď ja som chodil na školu, používali sme logaritmické pravítko. Moje deti ho už nikdy nevideli. To je progres.
Dnešné kalkulačky alebo počítače by mali byť výborným pomocníkom. Sú dobrým sluhom, ale zlým pánom. Chýba ten dril, keď ste kedysi rátali druhú odmocninu či numericky riešili nejakú rovnicu. Niekedy to trvalo aj dni.
To môže evokovať, že nepotrebujeme matematiku, lebo počítač to vypočíta. Je to pravda, ale čo ďalej? Za rok budete potrebovať iné komplikovanejšie výsledky a zrazu budete potrebovať matematikov, ktorí vám povedia, ako ich získať, aké potrebujete algoritmy.
Stáva sa preto, že vo firmách majú väčší záujem o matematika ako o informatika. Matematik sa informatiku naučí, ale opačne je to už trochu problém.“
Je u mladých ľudí cítiť, že začínajú mať s matematiku ťažkosti?
„Súčasná generácia deti je trošku poznamenaná. Technológie zvádzajú k povrchnosti, veď všetko stačí niekam naťukať. Matematický dril však nie je na škodu. Dnes ľudia bez kalkulačku ani nevedia spamäti spočítať dve malé čísla. Aj pianista musí robiť prstové cvičenia, ktoré nikto nechce počúvať, no on si na tom rozohrá prsty.
Tak isto aj matematik. Aby pocítil krásu výpočtov, niekedy si skúsi vydeliť päťmiestne čísla. Bohužiaľ, úroveň na našich školách klesá. Krokom späť je znižovanie počtu hodín z matematiky.“
Kvantové svety a matematika
Čo robíte vy ako matematik?
„Kvantové logiky. Súvisí to s objavením kvantovej mechaniky a jej meraniami. Objavili sa tam veličiny, ktoré nemôžeme merať súčasne rovnako presne. Ak sa zmenšovala jedna chyba, druhá sa musela zväčšovať.
Vtedy sa ukázalo, že kvantovo-mechanické udalosti nespĺňajú zákony klasickej teórie pravdepodobnosti. Začalo sa teda hľadať, čo iné by to mohlo byť: navrhli sa štruktúry, ktoré súvisia s Hilbertovými priestormi. Sú to matematické základy kvantovej mechaniky.“
Objavenie fenoménov na kvantovej úrovni teda viedlo nielen k zmene fyziky, ale aj k zmene matematiky?
„Fyzici potrebovali niečo zmerať a ukázalo sa, že už nemôžu používať staré, dovtedy známe prostriedky. Museli sa vyvinúť nové, rovnako ako nové pohľady.
To súvisí aj s novými počítačmi. Kedysi boli veľké ako miestnosť, dnes už budú také malé, že tam začnú platiť kvantové zákony. Výsledky, ktoré ja aj moji kolegovia získavame, sa tu dajú použiť. Preto napríklad spolupracujeme aj s Vladom Bužekom. Je to našťastie oblasť, ktorá trošku letí.
Už to pritom robím pomaly štyridsať rokov a každých päť rokov musím prijať úplne nový pohľad.“
Prečo?
„Pretože sa rozširuje poznanie. Ukazuje sa, že svet nie je bielo-čierny, dá sa použiť viachodnotová logika, viachodnotové algebry. Našťastie to je živá oblasť, ktorá sa rozvíja.“
Trúfate si odhadnúť, aká bude budúcnosť matematiky?
„Bude veľmi ovplyvnená potrebami biológie a opisov biologických systémov. Tam, kde sa nedajú popísať fyzikálnymi zákonmi, je veľká budúcnosť. Už dnes jestvujú odbory ako biomatematika.
Hľadajú sa aj automatizované systémy dokazovania, programy, ktoré vám nájdu jednoduché kontrapríklady a možno aj dôkaz. Myslím si však, že matematika bude potrebná.“
