Text vyšiel pôvodne v aprílovom čísle magazínu Quark.
Ako vieme, objem kvádra vypočítame jednoduchým vzorcom V = a · b · c, teda súčinom dĺžok jeho troch strán. Keď sa však pozrieme na tvar pre výpočet objemu gule V = 4/3 · π · r³, zistíme, že jeho odvodenie je už náročnejšie.
Rovnica rozhádala internet. Aj kalkulačky majú iné výsledky Čítajte Ako tento výpočet vznikol?
Uvažujme najprv o kvádri a vzorci na výpočet jeho objemu. Kváder má dané rozmery, daný počet dielikov v každom smere.
Na lepšiu predstavu si vytváranie trojrozmerného telesa vizualizujme ako rozťahovanie hmoty najprv z bodu až do danej dĺžky kvádra. Vznikne nám tak úsečka, ktorú potom tiež roztiahneme v druhom smere až do danej šírky kvádra. Následne dostaneme plochu, ktorú do tretice roztiahneme smerom nahor do potrebnej výšky kvádra.
Na rozdiel od kvádra tvoria vzorec gule V = 4/3 · π · r³ na prvý pohľad tri nesúvisiace veci: r³ vyjadruje objem kocky s dĺžkou strán r, číslo π je známa matematická konštanta s hodnotou 3,14 pre prácu s kružnicami a k tomu zlomok 4/3.
Na rozlúštenie vzorca môžeme využiť integrálny počet.
Čo je integrál?
Integrály a derivácie sú základné stavebné kamene časti matematiky nazývanej matematická analýza. Určitý integrál nezápornej funkcie medzi dvomi bodmi a, b na osi x sa rovná ploche pod krivkou tejto funkcie, zdola ohraničenou práve osou x. Výpočet integrálu je odvodený od postupného zmenšovania obdĺžnikov pod danou funkciou.
Keď chceme vyrátať plochu pod funkciou, najprv ju aproximujeme (nahradíme) jedným obdĺžnikom, resp. jeho obsahom, čím dostaneme veľmi nepresné číslo.
Keď však postupne obdĺžniky zmenšujeme na šírku, pričom horné hrany obdĺžnikov kopírujú tvar danej funkcie, dostávame presnejšiu hodnotu. Pokiaľ ich zmenšujeme donekonečna, získame absolútne presnú hodnotu plochy.
