KRÁTKO O ČÍSLACH

Googol, piesok vo vesmíre aj šifrovanie. Tri superčísla a čo o nich (asi) neviete

Ako je možné, že niektoré výpočty nevieme urobiť v rozumnom čase? A ako Archimedes rátal počet zrniek piesku vo vesmíre?

(Zdroj: ILUSTRAČNÉ – Steve Jurvetson/FLICKR/CC)

1063

Koľko zrniečok piesku by ste potrebovali, ak by ste nimi chceli vyplniť celý vesmír? Samozrejme, presné číslo nepozná nikto, a na takto položenú otázku zrejme ani nemožno odpovedať. Napokon, nevieme, aký veľký vesmír je – a tak ďalej.

Toto číslo sa však pokúsil odhadnúť Archimedes. Aby to mohol dokázať, v skutočnosti musel vymyslieť celý nový systém, ako rátať s obrovskými číslami. Nezabúdajme, že sa to dialo vo svete antiky, kde matematika pre starovekých Grékov zosobňovala to, čomu my dnes hovoríme geometria.

Archimedes napokon vymyslel systém, ako pomenovať (a pracovať s nimi) naozaj veľké čísla. Základom boli myriady (desaťtisíce) a myriady myriad (108), a napokon sa takýmto spôsobom dokázal dostať až k notácii čísla 80.1015.

Potom Archimedes zobral Aristarchov heliocentrický – áno, už v tej dobe s nehybným Slnkom, okolo ktorého obiehala Zem a so sférou hviezd – systém, aby mohol odhadnúť počet zrniečok piesku v kozme. Predtým však odhadol vzdialenosť hviezdnej sféry: pričom predpokladal, že pomer priemeru tejto sféry a priemeru orbity Zeme okolo Slnka je rovnaký ako pomer priemeru orbity Zeme okolo Slnka a samotného priemeru Zeme. Potom odhadol veľkosť Zeme, Mesiaca, Slnka a priemer našej hviezdy.

Archimedovi napokon vyšlo, že vesmír má (pri našom dnešnom rátaní) priemer asi dva svetelné roky – a dnes vieme, že to platí nanajvýš tak na veľkosť našej slnečnej sústavy, ak by sme do nej zarátali aj Oortov mrak.

No aby takýto priestor mohli zaplniť zrnká piesku, Archimedes zistil, že by ich potreboval zhruba 1063.

Googol

Nie, naozaj to nie je preklep a nehovoríme o americkej technologickej spoločnosti. Googol je 10100, teda jednotka a za ňou sto núl. Jestvuje potom aj googolplex, čo je 10googol.

Podobné čísla sa používajú, napríklad, v kombinatorike - keby ste trebárs chceli zistiť, aká je pravdepodobnosť, že úplne náhodným stláčaním kláves počítača (alebo písacieho) stroja napíšu opice nejaké umelecké dielo. Ale vo všeobecnosti, takéto čísla sa používajú vtedy, keď potrebujete rátať s naozaj veľkými číslami.

Mimochodom, keby ste chceli taký Googolplex naozaj rozpísať perom a na papier, náš vesmír by vám nestačil. V skutočnosti by ste na to potrebovali o takmer 30 biliard vesmírov viac.

A ešte jedna kuriozita: Google a Googol spolu niečo spoločné predsa len majú. Meno tej superslávnej IT firmy údajne vzniklo chybným prepisom práve tohto matematického výrazu.

RSA 129

V skutočnosti by sa táto časť mala volať dvojité prvočísla alebo semiprvočísla. Fascinujúcejší než názov je však fakt, že spôsob, akým fungujeme na internete, má čiastočne čosi spoločné práve s číslami zloženými z dvojice prvočísel. Presnejšie, z dvojice ohromných prvočísel, ktoré tvoria ešte väčšie číslo.

Prečo? Dôvodom je kryptografia a šifrovanie správ. Bez toho aby sme sa vydali do sveta kryptografie a privátnych a verejných kľúčov, si to však zhrňme asi takto: ako by ste niekomu poslali správu tak, aby ste ju mohli relatívne ľahko utajiť a neriskovali ste pritom, že kľúč na rozlúštenie unikne do nesprávnych rúk?

Nuž, môžete to urobiť tak, ako svojho času navrhli Rivest, Shamir a Adleman – čiže časť kľúča bude mať odosielateľ a časť príjemca. Každý uvidí verejný kľúč (zašifrujte ním správu, ktorú chce niekomu poslať) a utajený zostane privátny kľúč (vďaka ktorému si len tento príjemca dokáže správu dešifrovať).

Pri takomto systéme sa používajú veľké čísla (verejný kľúč) zložené z neznámych prvočísel, pričom v rozumnom čase nie je ani hrubou výpočtovou silou možné tieto prvočísla zistiť – teda rozložiť (faktorizovať) na súčin prvočísel (privátny kľúč).

Samozrejme, toto je veľmi veľké zjednodušenie. No pred rokmi práve firma RSA vypísala výzvu, aby sa kryptológovia a počítačoví inžinieri pokúsili niektoré takto vytvorené čísla faktorizovať. V niektorých prípadoch s menšími číslami sa to podarilo.

Ešte predtým, v roku 1977 sa však v magazíne Scientific American objavila výzva na rozloženie takzvaného RSA 129. Teda čísla zloženého zo súčinu dvoch prvočísel so 129 číslicami.

Podarilo sa to v roku 1994 a bol to jeden z prvých úspechov rodiaceho sa internetu, keď výskumníci využili zhruba 1600 počítačov zapojených do tejto budúcej globálnej siete.

Nabudúce: rôzne nekonečná.

Najčítanejšie na SME Tech


Inzercia - Tlačové správy


  1. Moskva alebo Petrohrad?
  2. Jubilejná desiata KOCKA privíta zákazníkov v Starej Ľubovni
  3. Nepríjemná bolesť. Tu sú 3 rady, ako sa jej zbavíte
  4. 5 zaujímavostí, ktoré ste o koži možno nevedeli
  5. Nový Jaguar XF Sportbrake
  6. Špeciálna príloha: Pre budúcich vysokoškolákov
  7. Ako pracujú poisťováci? Dostali sme sa medzi nich
  8. Výhodné a lacné neznamená to isté, ani pri PZP
  9. Keď ide o zdravie a majetok, rozhodujú sekundy
  10. Diabetici môžu získať 25-tisíc eur cez nový grantový program
  1. Moskva alebo Petrohrad?
  2. Aké auto si vybrať - nové, zánovné alebo jazdené?
  3. Jubilejná desiata KOCKA privíta zákazníkov v Starej Ľubovni
  4. Nový článokHB Reavis predstavuje projekt Stanica Nivy na veľtrhu
  5. 5 zaujímavostí, ktoré ste o koži možno nevedeli
  6. Nepríjemná bolesť. Tu sú 3 rady, ako sa jej zbavíte
  7. Nový Jaguar XF Sportbrake
  8. Tradičné bratislavské dvory sú späť. V Jarabinkách sú až dva
  9. Jeden nákup a všetko vybavené, alebo one stop shopping
  10. Ako pracujú poisťováci? Dostali sme sa medzi nich
  1. Moskva alebo Petrohrad? 8 921
  2. Ako pracujú poisťováci? Dostali sme sa medzi nich 6 306
  3. Nepríjemná bolesť. Tu sú 3 rady, ako sa jej zbavíte 2 378
  4. Diabetici môžu získať 25-tisíc eur cez nový grantový program 2 091
  5. 5 zaujímavostí, ktoré ste o koži možno nevedeli 2 085
  6. Špeciálna príloha: Pre budúcich vysokoškolákov 1 879
  7. Jubilejná desiata KOCKA privíta zákazníkov v Starej Ľubovni 1 852
  8. Tradičné bratislavské dvory sú späť. V Jarabinkách sú až dva 1 846
  9. Nový Jaguar XF Sportbrake 1 686
  10. Výhodné a lacné neznamená to isté, ani pri PZP 887

Téma: Čo neviete o číslach


Hlavné správy zo Sme.sk

PLUS

Civilizovaná divočina. Na severe Slovenska to záhadne funguje

Oravská Polhora pôsobí ako vymyslená. Nízka nezamestnanosť, vysoká pôrodnosť, kultúra. Šéfuje jej len 33-ročný starosta.

Neprehliadnite tiež

DETSKÁ RUBRIKA

Lelek lesný vidí aj za seba, nemusí ani pohnúť hlavou

Prezývali ho kozodoj, hoci kozy nikdy nedojil.

OBJEKTÍV

Skutočný Iron Man: Vynálezca s oblekom stanovil nový rýchlostný rekord

Oblek poháňa šesť malých prúdových motorov.

Vesmírne kráľovstvo Asgardia vypustilo do vesmíru svoj prvý satelit

Má vlajku a dokonca aj hymnu. Zatiaľ ho však žiadna pozemská krajina či národ neuznáva.

Je lepší vinyl alebo cédečko? Čo o kvalite zvuku hovorí matematika

Fanúšikovia na platne nedajú dopustiť, argumentujú vernosťou zvuku.