KRÁTKO O ČÍSLACH

Googol, piesok vo vesmíre aj šifrovanie. Tri superčísla a čo o nich (asi) neviete

Ako je možné, že niektoré výpočty nevieme urobiť v rozumnom čase? A ako Archimedes rátal počet zrniek piesku vo vesmíre?

(Zdroj: ILUSTRAČNÉ – Steve Jurvetson/FLICKR/CC)

1063

Koľko zrniečok piesku by ste potrebovali, ak by ste nimi chceli vyplniť celý vesmír? Samozrejme, presné číslo nepozná nikto, a na takto položenú otázku zrejme ani nemožno odpovedať. Napokon, nevieme, aký veľký vesmír je – a tak ďalej.

Toto číslo sa však pokúsil odhadnúť Archimedes. Aby to mohol dokázať, v skutočnosti musel vymyslieť celý nový systém, ako rátať s obrovskými číslami. Nezabúdajme, že sa to dialo vo svete antiky, kde matematika pre starovekých Grékov zosobňovala to, čomu my dnes hovoríme geometria.

Archimedes napokon vymyslel systém, ako pomenovať (a pracovať s nimi) naozaj veľké čísla. Základom boli myriady (desaťtisíce) a myriady myriad (108), a napokon sa takýmto spôsobom dokázal dostať až k notácii čísla 80.1015.

Potom Archimedes zobral Aristarchov heliocentrický – áno, už v tej dobe s nehybným Slnkom, okolo ktorého obiehala Zem a so sférou hviezd – systém, aby mohol odhadnúť počet zrniečok piesku v kozme. Predtým však odhadol vzdialenosť hviezdnej sféry: pričom predpokladal, že pomer priemeru tejto sféry a priemeru orbity Zeme okolo Slnka je rovnaký ako pomer priemeru orbity Zeme okolo Slnka a samotného priemeru Zeme. Potom odhadol veľkosť Zeme, Mesiaca, Slnka a priemer našej hviezdy.

Archimedovi napokon vyšlo, že vesmír má (pri našom dnešnom rátaní) priemer asi dva svetelné roky – a dnes vieme, že to platí nanajvýš tak na veľkosť našej slnečnej sústavy, ak by sme do nej zarátali aj Oortov mrak.

No aby takýto priestor mohli zaplniť zrnká piesku, Archimedes zistil, že by ich potreboval zhruba 1063.

Googol

Nie, naozaj to nie je preklep a nehovoríme o americkej technologickej spoločnosti. Googol je 10100, teda jednotka a za ňou sto núl. Jestvuje potom aj googolplex, čo je 10googol.

Podobné čísla sa používajú, napríklad, v kombinatorike - keby ste trebárs chceli zistiť, aká je pravdepodobnosť, že úplne náhodným stláčaním kláves počítača (alebo písacieho) stroja napíšu opice nejaké umelecké dielo. Ale vo všeobecnosti, takéto čísla sa používajú vtedy, keď potrebujete rátať s naozaj veľkými číslami.

Mimochodom, keby ste chceli taký Googolplex naozaj rozpísať perom a na papier, náš vesmír by vám nestačil. V skutočnosti by ste na to potrebovali o takmer 30 biliard vesmírov viac.

A ešte jedna kuriozita: Google a Googol spolu niečo spoločné predsa len majú. Meno tej superslávnej IT firmy údajne vzniklo chybným prepisom práve tohto matematického výrazu.

RSA 129

V skutočnosti by sa táto časť mala volať dvojité prvočísla alebo semiprvočísla. Fascinujúcejší než názov je však fakt, že spôsob, akým fungujeme na internete, má čiastočne čosi spoločné práve s číslami zloženými z dvojice prvočísel. Presnejšie, z dvojice ohromných prvočísel, ktoré tvoria ešte väčšie číslo.

Prečo? Dôvodom je kryptografia a šifrovanie správ. Bez toho aby sme sa vydali do sveta kryptografie a privátnych a verejných kľúčov, si to však zhrňme asi takto: ako by ste niekomu poslali správu tak, aby ste ju mohli relatívne ľahko utajiť a neriskovali ste pritom, že kľúč na rozlúštenie unikne do nesprávnych rúk?

Nuž, môžete to urobiť tak, ako svojho času navrhli Rivest, Shamir a Adleman – čiže časť kľúča bude mať odosielateľ a časť príjemca. Každý uvidí verejný kľúč (zašifrujte ním správu, ktorú chce niekomu poslať) a utajený zostane privátny kľúč (vďaka ktorému si len tento príjemca dokáže správu dešifrovať).

Pri takomto systéme sa používajú veľké čísla (verejný kľúč) zložené z neznámych prvočísel, pričom v rozumnom čase nie je ani hrubou výpočtovou silou možné tieto prvočísla zistiť – teda rozložiť (faktorizovať) na súčin prvočísel (privátny kľúč).

Samozrejme, toto je veľmi veľké zjednodušenie. No pred rokmi práve firma RSA vypísala výzvu, aby sa kryptológovia a počítačoví inžinieri pokúsili niektoré takto vytvorené čísla faktorizovať. V niektorých prípadoch s menšími číslami sa to podarilo.

Ešte predtým, v roku 1977 sa však v magazíne Scientific American objavila výzva na rozloženie takzvaného RSA 129. Teda čísla zloženého zo súčinu dvoch prvočísel so 129 číslicami.

Podarilo sa to v roku 1994 a bol to jeden z prvých úspechov rodiaceho sa internetu, keď výskumníci využili zhruba 1600 počítačov zapojených do tejto budúcej globálnej siete.

Nabudúce: rôzne nekonečná.

Najčítanejšie na SME Tech


Inzercia - Tlačové správy


  1. Tatra banka spustila najmodernejší internet banking pre firmy
  2. Toto tajomstvo vrcholoví športovci dlho skrývali
  3. Slovensko má pralesy, púšť aj kameňopád. Už ste ich videli?
  4. Volkswagen T-Roc: Pre nerozhodných
  5. Leto 2018 v Grécku s odletom z Bratislavy
  6. Dlhopisy 7,25 % p.a. majú najvýhodnejšiu nákupnú cenu v roku
  7. Zelené Grunty vám ponúknu viac, ako očakávate
  8. Kam do tepla v januári?
  9. First moment Turecko: využite zľavy na špičkové hotely
  10. Konzultácia so svetovými odborníkmi dokáže zachrániť život
  1. Slovensko má pralesy, púšť aj kameňopád. Už ste ich videli?
  2. Toto tajomstvo vrcholoví športovci dlho skrývali
  3. Vlani sme si vyberali z vyše pol milióna inzerovaných áut
  4. V centre našej pozornosti sú zákazníci. Už 50 rokov
  5. Začiatok roka patrí dani z nehnuteľností
  6. Volkswagen T-Roc: Pre nerozhodných
  7. Tipy pre atraktívne poprsie po dojčení. Plastike povedzte nie
  8. Stanovisko spoločnosti Advokátska kancelária JUDr. Radomír Bžán
  9. Tatra banka spustila najmodernejší internet banking pre firmy
  10. Iba dnes: Narodeninové predplatné SME.sk za 25 eur
  1. Volkswagen T-Roc: Pre nerozhodných 6 242
  2. Tatra banka spustila najmodernejší internet banking pre firmy 5 166
  3. Leto 2018 v Grécku s odletom z Bratislavy 3 874
  4. Slovensko má pralesy, púšť aj kameňopád. Už ste ich videli? 2 828
  5. Kam do tepla v januári? 2 592
  6. Toto tajomstvo vrcholoví športovci dlho skrývali 2 486
  7. First moment Turecko: využite zľavy na špičkové hotely 2 308
  8. Iba dnes: Narodeninové predplatné SME.sk za 25 eur 2 233
  9. Dlhopisy 7,25 % p.a. majú najvýhodnejšiu nákupnú cenu v roku 2 222
  10. Demänovku mieša iba jeden človek. Ako si strážia receptúru? 1 648

Téma: Čo neviete o číslach


Hlavné správy zo Sme.sk

EKONOMIKA

Je to diskriminácia, vyčítali veriaci. Desať eur za sobáš môžu nakoniec pýtať od každého

Matriky majú s cirkevnými sobášmi viac práce, tvrdia autori poplatku.

EKONOMIKA

Majú živnostníci právo na dovolenku? Ako rozhodol európsky súd

Nie je živnostník ako živnostník.

Neprehliadnite tiež

LG V30 je skoro dokonalý smartfón pre milovníkov multimédií

Špičkový výkon, skvelý fotoaparát a množstvo ďalších superlatív. Aký je nový smartfón od LG v skutočnosti?

DETSKÁ RUBRIKA

Krahulcom ublížili postreky. Z poškodených vajec sa mladé nikdy nevyliahli

Pôsobením chemikálií sa škrupina na vajíčkach stenčila a nasledoval smutný koniec. Keď si nádejná mama sadla na znášku, vajíčka pod ňou popraskali.

Prekvapivé príslušenstvo: Nintendo spojilo kartónové hračky a hraciu konzolu

Postavte si vlastný klavír, auto na diaľkové ovládanie či robotický oblek.

Prekonáva všetky limity. Nový fotoaparát má 400 megapixelové fotky

Jedna fotografia zaberie 2,4 gigabajtu úložného priestoru.

Môže ukrývať mayské tajomstvá. Našli najväčšiu zatopenú jaskyňu sveta

Potápači našli prepojenie dvoch jaskynných systémov, spolu sú dlhé 347 kilometrov.