SME
Piatok, 18. október, 2019 | Meniny má Lukáš
KRÁTKO O ČÍSLACH

Googol, piesok vo vesmíre aj šifrovanie. Tri superčísla a čo o nich (asi) neviete

Ako je možné, že niektoré výpočty nevieme urobiť v rozumnom čase? A ako Archimedes rátal počet zrniek piesku vo vesmíre?

(Zdroj: ILUSTRAČNÉ – Steve Jurvetson/FLICKR/CC)

1063

Koľko zrniečok piesku by ste potrebovali, ak by ste nimi chceli vyplniť celý vesmír? Samozrejme, presné číslo nepozná nikto, a na takto položenú otázku zrejme ani nemožno odpovedať. Napokon, nevieme, aký veľký vesmír je – a tak ďalej.

Toto číslo sa však pokúsil odhadnúť Archimedes. Aby to mohol dokázať, v skutočnosti musel vymyslieť celý nový systém, ako rátať s obrovskými číslami. Nezabúdajme, že sa to dialo vo svete antiky, kde matematika pre starovekých Grékov zosobňovala to, čomu my dnes hovoríme geometria.

Článok pokračuje pod video reklamou

Archimedes napokon vymyslel systém, ako pomenovať (a pracovať s nimi) naozaj veľké čísla. Základom boli myriady (desaťtisíce) a myriady myriad (108), a napokon sa takýmto spôsobom dokázal dostať až k notácii čísla 80.1015.

Potom Archimedes zobral Aristarchov heliocentrický – áno, už v tej dobe s nehybným Slnkom, okolo ktorého obiehala Zem a so sférou hviezd – systém, aby mohol odhadnúť počet zrniečok piesku v kozme. Predtým však odhadol vzdialenosť hviezdnej sféry: pričom predpokladal, že pomer priemeru tejto sféry a priemeru orbity Zeme okolo Slnka je rovnaký ako pomer priemeru orbity Zeme okolo Slnka a samotného priemeru Zeme. Potom odhadol veľkosť Zeme, Mesiaca, Slnka a priemer našej hviezdy.

Archimedovi napokon vyšlo, že vesmír má (pri našom dnešnom rátaní) priemer asi dva svetelné roky – a dnes vieme, že to platí nanajvýš tak na veľkosť našej slnečnej sústavy, ak by sme do nej zarátali aj Oortov mrak.

No aby takýto priestor mohli zaplniť zrnká piesku, Archimedes zistil, že by ich potreboval zhruba 1063.

Googol

Nie, naozaj to nie je preklep a nehovoríme o americkej technologickej spoločnosti. Googol je 10100, teda jednotka a za ňou sto núl. Jestvuje potom aj googolplex, čo je 10googol.

Podobné čísla sa používajú, napríklad, v kombinatorike - keby ste trebárs chceli zistiť, aká je pravdepodobnosť, že úplne náhodným stláčaním kláves počítača (alebo písacieho) stroja napíšu opice nejaké umelecké dielo. Ale vo všeobecnosti, takéto čísla sa používajú vtedy, keď potrebujete rátať s naozaj veľkými číslami.

Mimochodom, keby ste chceli taký Googolplex naozaj rozpísať perom a na papier, náš vesmír by vám nestačil. V skutočnosti by ste na to potrebovali o takmer 30 biliard vesmírov viac.

A ešte jedna kuriozita: Google a Googol spolu niečo spoločné predsa len majú. Meno tej superslávnej IT firmy údajne vzniklo chybným prepisom práve tohto matematického výrazu.

Načítavám video...

RSA 129

V skutočnosti by sa táto časť mala volať dvojité prvočísla alebo semiprvočísla. Fascinujúcejší než názov je však fakt, že spôsob, akým fungujeme na internete, má čiastočne čosi spoločné práve s číslami zloženými z dvojice prvočísel. Presnejšie, z dvojice ohromných prvočísel, ktoré tvoria ešte väčšie číslo.

Prečo? Dôvodom je kryptografia a šifrovanie správ. Bez toho aby sme sa vydali do sveta kryptografie a privátnych a verejných kľúčov, si to však zhrňme asi takto: ako by ste niekomu poslali správu tak, aby ste ju mohli relatívne ľahko utajiť a neriskovali ste pritom, že kľúč na rozlúštenie unikne do nesprávnych rúk?

Nuž, môžete to urobiť tak, ako svojho času navrhli Rivest, Shamir a Adleman – čiže časť kľúča bude mať odosielateľ a časť príjemca. Každý uvidí verejný kľúč (zašifrujte ním správu, ktorú chce niekomu poslať) a utajený zostane privátny kľúč (vďaka ktorému si len tento príjemca dokáže správu dešifrovať).

Pri takomto systéme sa používajú veľké čísla (verejný kľúč) zložené z neznámych prvočísel, pričom v rozumnom čase nie je ani hrubou výpočtovou silou možné tieto prvočísla zistiť – teda rozložiť (faktorizovať) na súčin prvočísel (privátny kľúč).

Samozrejme, toto je veľmi veľké zjednodušenie. No pred rokmi práve firma RSA vypísala výzvu, aby sa kryptológovia a počítačoví inžinieri pokúsili niektoré takto vytvorené čísla faktorizovať. V niektorých prípadoch s menšími číslami sa to podarilo.

Ešte predtým, v roku 1977 sa však v magazíne Scientific American objavila výzva na rozloženie takzvaného RSA 129. Teda čísla zloženého zo súčinu dvoch prvočísel so 129 číslicami.

Podarilo sa to v roku 1994 a bol to jeden z prvých úspechov rodiaceho sa internetu, keď výskumníci využili zhruba 1600 počítačov zapojených do tejto budúcej globálnej siete.

Nabudúce: rôzne nekonečná.

Najčítanejšie na SME Tech

Inzercia - Tlačové správy

  1. 5 rád Ľudmily Kolesárovej, ako napísať projekt a získať grant
  2. Bývať v novom sa dá aj bez hypotéky (a založenia nehnuteľnosti)
  3. Karibik: Dokonalý oddych v špičkových hoteloch
  4. 30 rokov slobody
  5. Ojazdené pneumatiky odovzdajte, šetríte tak životné prostredie
  6. Lidl je odteraz všade! Vitajte v Lidl e-shope
  7. Limitovaná ponuka: balík SME.sk + DIGI GO so zľavou až 52 %
  8. Nestarnú, ale dozrievajú
  9. Výskumný park v Rakúsku zistil, ako sa býva najzdravšie
  10. Rýchlejšie doma. Už čoskoro.
  1. Karibik: Dokonalý oddych v špičkových hoteloch
  2. Bývať v novom sa dá aj bez hypotéky (a založenia nehnuteľnosti)
  3. 30 rokov slobody
  4. Slávnostné otvorenie VIVO! Bratislava už o tri týždne
  5. Prečo Lukáš chodí po tridsiatke ešte stále na strednú školu
  6. Udržateľné úspešné podnikanie na Slovensku a v Bulharsku
  7. Slováci sú chlebovým národom
  8. Ojazdené pneumatiky odovzdajte, šetríte tak životné prostredie
  9. Kedy je správny čas nasťahovať sa do novostavby?
  10. P3 začína na východe Slovenska s výstavbou parku
  1. Zanzibar: Čo treba vidieť v africkom raji 14 115
  2. Lidl je odteraz všade! Vitajte v Lidl e-shope 12 173
  3. Výskumný park v Rakúsku zistil, ako sa býva najzdravšie 11 356
  4. 5 rád Ľudmily Kolesárovej, ako napísať projekt a získať grant 10 175
  5. Čo na aute vymyslela žena a čo výrobca telefónov? 10 038
  6. Čo všetko dnes majú deti v mobiloch? Boli by ste prekvapení 9 352
  7. Vysokoškoláci zarobia už o 587 eur viac ako stredoškoláci 8 312
  8. Týmto trikom sa dajú v aute umiestniť tri autosedačky 7 795
  9. Vyrába koláče pre celiatikov. Najobľúbenejšie zákusky prekvapia 7 289
  10. Luxusný hybrid za 22 900 eur. Nadpriemerný už v základnej výbave 6 495

Téma: Čo neviete o číslach


Hlavné správy zo Sme.sk

Rozhovor

Autor Gorily Holúbek: Flašíka viem vysvetliť, polícia sa mi neozvala

Kvalita nahrávky je podobná originálu.

Bývalý analytik SIS Peter Holúbek podľa Gorily odpočúval konšpiračný byt na Vazovej ulici.
Dobré ráno

Dobré ráno: Johnson prekvapil a dohodol sa s EÚ na odchode

V sobotu zasadne britský parlament

Podcast Dobré Ráno
Komentár šéfredaktorky

Čo nám Gorila hovorí o Ficovi a Haščákovi

Gorila ponúkla jasnú predstavu, ako si interpretujú fungovanie štátu.

Beata Balogová, šefredaktorka denníka SME
Ráž počas koncertu skupiny Elán