KRÁTKO O ČÍSLACH

Googol, piesok vo vesmíre aj šifrovanie. Tri superčísla a čo o nich (asi) neviete

Ako je možné, že niektoré výpočty nevieme urobiť v rozumnom čase? A ako Archimedes rátal počet zrniek piesku vo vesmíre?

(Zdroj: ILUSTRAČNÉ – Steve Jurvetson/FLICKR/CC)

1063

Koľko zrniečok piesku by ste potrebovali, ak by ste nimi chceli vyplniť celý vesmír? Samozrejme, presné číslo nepozná nikto, a na takto položenú otázku zrejme ani nemožno odpovedať. Napokon, nevieme, aký veľký vesmír je – a tak ďalej.

Toto číslo sa však pokúsil odhadnúť Archimedes. Aby to mohol dokázať, v skutočnosti musel vymyslieť celý nový systém, ako rátať s obrovskými číslami. Nezabúdajme, že sa to dialo vo svete antiky, kde matematika pre starovekých Grékov zosobňovala to, čomu my dnes hovoríme geometria.

Archimedes napokon vymyslel systém, ako pomenovať (a pracovať s nimi) naozaj veľké čísla. Základom boli myriady (desaťtisíce) a myriady myriad (108), a napokon sa takýmto spôsobom dokázal dostať až k notácii čísla 80.1015.

Potom Archimedes zobral Aristarchov heliocentrický – áno, už v tej dobe s nehybným Slnkom, okolo ktorého obiehala Zem a so sférou hviezd – systém, aby mohol odhadnúť počet zrniečok piesku v kozme. Predtým však odhadol vzdialenosť hviezdnej sféry: pričom predpokladal, že pomer priemeru tejto sféry a priemeru orbity Zeme okolo Slnka je rovnaký ako pomer priemeru orbity Zeme okolo Slnka a samotného priemeru Zeme. Potom odhadol veľkosť Zeme, Mesiaca, Slnka a priemer našej hviezdy.

Archimedovi napokon vyšlo, že vesmír má (pri našom dnešnom rátaní) priemer asi dva svetelné roky – a dnes vieme, že to platí nanajvýš tak na veľkosť našej slnečnej sústavy, ak by sme do nej zarátali aj Oortov mrak.

No aby takýto priestor mohli zaplniť zrnká piesku, Archimedes zistil, že by ich potreboval zhruba 1063.

Googol

Nie, naozaj to nie je preklep a nehovoríme o americkej technologickej spoločnosti. Googol je 10100, teda jednotka a za ňou sto núl. Jestvuje potom aj googolplex, čo je 10googol.

Podobné čísla sa používajú, napríklad, v kombinatorike - keby ste trebárs chceli zistiť, aká je pravdepodobnosť, že úplne náhodným stláčaním kláves počítača (alebo písacieho) stroja napíšu opice nejaké umelecké dielo. Ale vo všeobecnosti, takéto čísla sa používajú vtedy, keď potrebujete rátať s naozaj veľkými číslami.

Mimochodom, keby ste chceli taký Googolplex naozaj rozpísať perom a na papier, náš vesmír by vám nestačil. V skutočnosti by ste na to potrebovali o takmer 30 biliard vesmírov viac.

A ešte jedna kuriozita: Google a Googol spolu niečo spoločné predsa len majú. Meno tej superslávnej IT firmy údajne vzniklo chybným prepisom práve tohto matematického výrazu.

RSA 129

V skutočnosti by sa táto časť mala volať dvojité prvočísla alebo semiprvočísla. Fascinujúcejší než názov je však fakt, že spôsob, akým fungujeme na internete, má čiastočne čosi spoločné práve s číslami zloženými z dvojice prvočísel. Presnejšie, z dvojice ohromných prvočísel, ktoré tvoria ešte väčšie číslo.

Prečo? Dôvodom je kryptografia a šifrovanie správ. Bez toho aby sme sa vydali do sveta kryptografie a privátnych a verejných kľúčov, si to však zhrňme asi takto: ako by ste niekomu poslali správu tak, aby ste ju mohli relatívne ľahko utajiť a neriskovali ste pritom, že kľúč na rozlúštenie unikne do nesprávnych rúk?

Nuž, môžete to urobiť tak, ako svojho času navrhli Rivest, Shamir a Adleman – čiže časť kľúča bude mať odosielateľ a časť príjemca. Každý uvidí verejný kľúč (zašifrujte ním správu, ktorú chce niekomu poslať) a utajený zostane privátny kľúč (vďaka ktorému si len tento príjemca dokáže správu dešifrovať).

Pri takomto systéme sa používajú veľké čísla (verejný kľúč) zložené z neznámych prvočísel, pričom v rozumnom čase nie je ani hrubou výpočtovou silou možné tieto prvočísla zistiť – teda rozložiť (faktorizovať) na súčin prvočísel (privátny kľúč).

Samozrejme, toto je veľmi veľké zjednodušenie. No pred rokmi práve firma RSA vypísala výzvu, aby sa kryptológovia a počítačoví inžinieri pokúsili niektoré takto vytvorené čísla faktorizovať. V niektorých prípadoch s menšími číslami sa to podarilo.

Ešte predtým, v roku 1977 sa však v magazíne Scientific American objavila výzva na rozloženie takzvaného RSA 129. Teda čísla zloženého zo súčinu dvoch prvočísel so 129 číslicami.

Podarilo sa to v roku 1994 a bol to jeden z prvých úspechov rodiaceho sa internetu, keď výskumníci využili zhruba 1600 počítačov zapojených do tejto budúcej globálnej siete.

Nabudúce: rôzne nekonečná.

Najčítanejšie na SME Tech


Inzercia - Tlačové správy


  1. Vyberte si dovolenku na Silvestra už teraz
  2. Tipy na rodinné výlety autom po Slovensku
  3. Recept na príjemné ráno od „majstra rozkoší“ Daniela Nekonečného
  4. Odteraz pri volaniach už nemusíte rátať minúty
  5. Ako pracujú horskí záchranári? Tieto veci by ste nemali podceniť
  6. Návod, ako získať maximum pri nákupoch s kreditkou
  7. Mexická Oaxaca: Vonia čokoládou a jedinečnými pyramídami
  8. Dobrý internet v meste i na vidieku. Dostupný je takmer všade
  9. Na tieto veci sa oplatí myslieť pred odchodom na dovolenku
  10. Volkswagen Golf: Odpoveď na takmer všetky otázky
  1. Problémy s počatím? Čo vás čaká na ceste za dvomi čiarkami.
  2. Vyberte si dovolenku na Silvestra už teraz
  3. Tipy na rodinné výlety autom po Slovensku
  4. Modesta Real Estate sprostredkovala pre Emil Frey halu v P3
  5. Recept na príjemné ráno od „majstra rozkoší“ Daniela Nekonečného
  6. K-Classic – značka, ktorá pomáha!
  7. Pred 25 rokmi musela byť jazdenka zo západu
  8. Odteraz pri volaniach už nemusíte rátať minúty
  9. Nenaleťte pochybným predajcom jazdeniek
  10. Cíťte sa v priestore príjemne
  1. Odteraz pri volaniach už nemusíte rátať minúty 10 166
  2. Ako pracujú horskí záchranári? Tieto veci by ste nemali podceniť 4 598
  3. Volkswagen Golf: Odpoveď na takmer všetky otázky 4 242
  4. Návod, ako získať maximum pri nákupoch s kreditkou 4 141
  5. Dobrý internet v meste i na vidieku. Dostupný je takmer všade 3 922
  6. Mexická Oaxaca: Vonia čokoládou a jedinečnými pyramídami 3 470
  7. Na tieto veci sa oplatí myslieť pred odchodom na dovolenku 2 724
  8. Vietnam: Krajina, ktorá rozmazná jedlom a uchváti históriou 2 408
  9. Nenaleťte pochybným predajcom jazdeniek 2 069
  10. I cez prázdniny testujte elektrobicykle 1 692

Téma: Čo neviete o číslach


Hlavné správy zo Sme.sk

DOMOV

Na ministerstve prežil Mečiara, Dzurindu aj Fica. Prečo by mal Plavčan odstúpiť

Aj keď ďalšie kauzy pribúdajú, odstúpiť zatiaľ neplánuje.

KOMENTÁRE

Keď už je trápne posmievať sa ministrovi školstva

Dôležité je ukázať, kto to celé vymyslel. A či to je riadená schéma.

EKONOMIKA

Flash končí, Tatra banka zmení internet banking

Flashové internetové bankovníctvo je bezpečné, uisťuje Tatra banka.

SVET

Trump vymenil ľudské práva za vysnívaný múr

Prezident zakázal transrodovým ľuďom slúžiť v armáde.

Neprehliadnite tiež

Vedci z Oregonu po prvý raz v USA upravili gény ľudského embrya

Využili metódu CRISPR, ktorá umožňuje pozmeniť alebo nahradiť časti DNA.

Vedci ukázali, aké majú ľudia nezvyčajné sexuálne túžby

Štúdia naznačila, že rozdiel medzi mužmi a ženami nie je veľký.

Mliečna dráha má cudzí pôvod, ukázali astrofyzici

Nový vesmírny fenomén odhalil, ako sa objavila časť hmoty hmoty v galaxiách.

Antibiotiká netreba vždy dobrať, naznačuje nová analýza

Odborníci spochybnili odveké pravidlo pri užívaní antibiotík. Pacienti by však nemali prerušovať liečbu.