SME
Štvrtok, 21. január, 2021 | Meniny má VincentKrížovkyKrížovky
KRÁTKO O ČÍSLACH

Googol, piesok vo vesmíre aj šifrovanie. Tri superčísla a čo o nich (asi) neviete

Ako je možné, že niektoré výpočty nevieme urobiť v rozumnom čase? A ako Archimedes rátal počet zrniek piesku vo vesmíre?

(Zdroj: ILUSTRAČNÉ – Steve Jurvetson/FLICKR/CC)

1063

Koľko zrniečok piesku by ste potrebovali, ak by ste nimi chceli vyplniť celý vesmír? Samozrejme, presné číslo nepozná nikto, a na takto položenú otázku zrejme ani nemožno odpovedať. Napokon, nevieme, aký veľký vesmír je – a tak ďalej.

Toto číslo sa však pokúsil odhadnúť Archimedes. Aby to mohol dokázať, v skutočnosti musel vymyslieť celý nový systém, ako rátať s obrovskými číslami. Nezabúdajme, že sa to dialo vo svete antiky, kde matematika pre starovekých Grékov zosobňovala to, čomu my dnes hovoríme geometria.

Skryť Vypnúť reklamu

Archimedes napokon vymyslel systém, ako pomenovať (a pracovať s nimi) naozaj veľké čísla. Základom boli myriady (desaťtisíce) a myriady myriad (108), a napokon sa takýmto spôsobom dokázal dostať až k notácii čísla 80.1015.

Potom Archimedes zobral Aristarchov heliocentrický – áno, už v tej dobe s nehybným Slnkom, okolo ktorého obiehala Zem a so sférou hviezd – systém, aby mohol odhadnúť počet zrniečok piesku v kozme. Predtým však odhadol vzdialenosť hviezdnej sféry: pričom predpokladal, že pomer priemeru tejto sféry a priemeru orbity Zeme okolo Slnka je rovnaký ako pomer priemeru orbity Zeme okolo Slnka a samotného priemeru Zeme. Potom odhadol veľkosť Zeme, Mesiaca, Slnka a priemer našej hviezdy.

Archimedovi napokon vyšlo, že vesmír má (pri našom dnešnom rátaní) priemer asi dva svetelné roky – a dnes vieme, že to platí nanajvýš tak na veľkosť našej slnečnej sústavy, ak by sme do nej zarátali aj Oortov mrak.

Skryť Vypnúť reklamu

No aby takýto priestor mohli zaplniť zrnká piesku, Archimedes zistil, že by ich potreboval zhruba 1063.

Googol

Nie, naozaj to nie je preklep a nehovoríme o americkej technologickej spoločnosti. Googol je 10100, teda jednotka a za ňou sto núl. Jestvuje potom aj googolplex, čo je 10googol.

Podobné čísla sa používajú, napríklad, v kombinatorike - keby ste trebárs chceli zistiť, aká je pravdepodobnosť, že úplne náhodným stláčaním kláves počítača (alebo písacieho) stroja napíšu opice nejaké umelecké dielo. Ale vo všeobecnosti, takéto čísla sa používajú vtedy, keď potrebujete rátať s naozaj veľkými číslami.

Mimochodom, keby ste chceli taký Googolplex naozaj rozpísať perom a na papier, náš vesmír by vám nestačil. V skutočnosti by ste na to potrebovali o takmer 30 biliard vesmírov viac.

Skryť Vypnúť reklamu

A ešte jedna kuriozita: Google a Googol spolu niečo spoločné predsa len majú. Meno tej superslávnej IT firmy údajne vzniklo chybným prepisom práve tohto matematického výrazu.

Načítavam video...

RSA 129

V skutočnosti by sa táto časť mala volať dvojité prvočísla alebo semiprvočísla. Fascinujúcejší než názov je však fakt, že spôsob, akým fungujeme na internete, má čiastočne čosi spoločné práve s číslami zloženými z dvojice prvočísel. Presnejšie, z dvojice ohromných prvočísel, ktoré tvoria ešte väčšie číslo.

Prečo? Dôvodom je kryptografia a šifrovanie správ. Bez toho aby sme sa vydali do sveta kryptografie a privátnych a verejných kľúčov, si to však zhrňme asi takto: ako by ste niekomu poslali správu tak, aby ste ju mohli relatívne ľahko utajiť a neriskovali ste pritom, že kľúč na rozlúštenie unikne do nesprávnych rúk?

Skryť Vypnúť reklamu

Nuž, môžete to urobiť tak, ako svojho času navrhli Rivest, Shamir a Adleman – čiže časť kľúča bude mať odosielateľ a časť príjemca. Každý uvidí verejný kľúč (zašifrujte ním správu, ktorú chce niekomu poslať) a utajený zostane privátny kľúč (vďaka ktorému si len tento príjemca dokáže správu dešifrovať).

Pri takomto systéme sa používajú veľké čísla (verejný kľúč) zložené z neznámych prvočísel, pričom v rozumnom čase nie je ani hrubou výpočtovou silou možné tieto prvočísla zistiť – teda rozložiť (faktorizovať) na súčin prvočísel (privátny kľúč).

Samozrejme, toto je veľmi veľké zjednodušenie. No pred rokmi práve firma RSA vypísala výzvu, aby sa kryptológovia a počítačoví inžinieri pokúsili niektoré takto vytvorené čísla faktorizovať. V niektorých prípadoch s menšími číslami sa to podarilo.

Skryť Vypnúť reklamu

Ešte predtým, v roku 1977 sa však v magazíne Scientific American objavila výzva na rozloženie takzvaného RSA 129. Teda čísla zloženého zo súčinu dvoch prvočísel so 129 číslicami.

Podarilo sa to v roku 1994 a bol to jeden z prvých úspechov rodiaceho sa internetu, keď výskumníci využili zhruba 1600 počítačov zapojených do tejto budúcej globálnej siete.

Nabudúce: rôzne nekonečná.

Skryť Vypnúť reklamu

Najčítanejšie na SME Tech

Skryť Vypnúť reklamu
Skryť Vypnúť reklamu

Téma: Čo neviete o číslach

Prečítajte si aj ďalšie články k téme
Skryť Vypnúť reklamu
Skryť Vypnúť reklamu

Hlavné správy zo Sme.sk

Ako prvý dostal vakcínu proti covidu profesor Krčméry.
Dobré ráno

Dobré ráno: Kotleba je navždy vodca, fašisti sa hádajú

Prečo nastal rozkol v ĽSNS.

NADÁCIA ZASTAVME KORUPCIU

Holý o výnimke nehovoril pravdu, papalášizmus dokazuje úspešný vedec

Pracuje v Anglicku, žiadosť mu zamietli.

Podpredseda vlády pre legislatívu a strategické plánovanie Štefan Holý (Sme rodina)
KOMENTÁR PETRA TKAČENKA

Kotlebovci sa bijú o peniaze

Milióny od štátu už zamávali aj inou čeliadkou.

Peter Tkačenko

Neprehliadnite tiež

Ilustračné foto.
Podcast Zoom

Zoom: Ukázali, aké dlhodobé problémy spôsobí Covid-19

Týždenný podcast o novinkách z vedy.

Vedátorský podcast

Prečo sa magnetické pole Zeme hýbe a ako sa udrží mucha na stene?

Od muchy na stene až po kvantovú nadvládu a gravitačné vlny, Vedátorský podcast odpovedal na otázky poslucháčov.

Ilustračná foto