„Žijeme vo svete, na ktorý sme si zvykli, v ktorom chodíme a - keď sme triezvi - nenarazíme do steny,“ hovorí o sedliackom rozume teoretický fyzik Marián Fecko, autor učebnice vydanej v prestížnom vydavateľstve v Cambridge. Na jeho prácu však zdravý rozum tak úplne nestačí. „Niekedy totiž treba dosť veľa matematiky na to, aby človek vedel nejakú vec povedať jednoducho.“
Čo robí teoretický fyzik?
To závisí od toho, čomu sa v teoretickej fyzike venuje, je to široký odbor. Veľa teoretických fyzikov pracuje s počítačmi, programujú. Iní sú blízko experimentov. A matematickí fyzici, čo je v hrubom rozlíšení stále v rámci tejto skupiny, robia s náročnou matematikou. Čiže sedia za stolom, rozmýšľajú, keď niečo vymyslia, tak to publikujú, prípadne prednesú na seminári či na konferencii.
Kde je hranica medzi matematikom a fyzikom teoretikom?
Tá hranica nie je ostrá. Mnohí ľudia na katedrách teoretickej fyziky po svete v podstate robia matematiku. Ak však robia matematiku, ktorá úzko súvisí s teoretickou fyzikou, tak si môžu povedať, že robia teoretickú fyziku. Robia na tom okraji matematiky, ktorý je blízko k fyzike. Tá hranica môže byť daná aj motiváciou, s ktorou do toho idú. Boli veľkí fyzici, ktorí vyriešili pomerne ťažké problémy z matematiky, lebo to potrebovali pre svoju fyziku. Proste si sami pomohli.
Vy sa považujete za matematika či za fyzika?
Ja si tú otázku nekladiem. Som oficiálne na katedre teoretickej fyziky a zdá sa mi, že ma viac priťahuje teoretická fyzika ako čistá matematika. Navyše, pre mňa sú určite zaujímavejšie motivácie z fyziky ako z matematiky. Ale mám rád, keď je fyzika vyjadrená matematickou rečou, ktorej dobre rozumiem. Napokon, tak som k tomu prišiel: niečomu som v akomsi žargóne dobre nerozumel, tak som sa na to chcel pozrieť lepšie a spadol som do toho trochu viac, ako som pôvodne plánoval.
Do čoho?
Diferenciálna geometria.
A to je čo?
Keď príde študent na fakultu a venuje sa fyzike, väčšinou si pod diferenciálnou geometriou predstavuje niečo úplne iné, ako to naozaj je. Naozaj v nej ide o skúmanie geometrie prostriedkami matematickej analýzy (t.j. pomocou derivácií a integrálov). Ale tá geometria je dnes niečo oveľa širšie, ako to bolo povedzme pre Grékov. Moderná diferenciálna geometria je pre teoretickú fyziku naozaj veľmi zaujímavá.
Prečo?
V teoretickej fyzike sa pracuje s abstraktnými pojmami. Mnohé z nich sa dajú najlepšie uchopiť tak, že sa zavedie n-rozmerný priestor, v ktorom je nejaká štruktúra. A často práve taká, aké sa študujú v diferenciálnej geometrii. Aj samotné vyjadrenie fyzikálnych zákonov býva nezriedka najjasnejšie v jazyku modernej diferenciálnej geometrie. Nejde teda len o výpočty. Niekedy sa potrebujete naučiť dosť vysokú matematiku na to, aby ste čosi vyjadrili jednoducho. Zákon môže znieť zložitejšie, ak ho nasilu chceme vyjadriť príliš jednoduchou matematikou. Čo je paradox.
Napríklad?
Newton sformuloval zákony mechaniky. Jeden z nich znie, že teleso sa pohybuje rovnomerne priamočiaro, kým naň nepôsobí sila. Lenže, čo je to rovnomerný priamočiary pohyb? Ukázalo sa, že to je dosť rafinovaná vec.
Na strednej škole to vyzeralo jednoducho.
Je to pohyb s konštantnou rýchlosťou (nulovým zrýchlením). Na úrovni povedzme prvého ročníka na vysokej škole, sú rýchlosť a zrýchlenie jednoduché pojmy. Ak sa ale odpútame od obyčajného (euklidovského) trojrozmerného priestoru, už to tak byť nemusí. Fyzika pritom niekedy z rýdzo praktických dôvodov potrebuje vybehnúť do viacrozmerných a aj krivých priestorov. A tam je zavedenie pojmov rýchlosť a zrýchlenie zložitejšie. Vyriešila to však diferenciálna geometria. Rovnomerný priamočiary pohyb sa v nej volá pohyb po geodetike. Einstein to napríklad využil v teórii gravitácie.
Väčšina ľudí si pod geometriou predstaví trojuholníky a štvorce. S tým má diferenciálna geometria čosi spoločné?
Geometria, ktorá sa učí na nižších školách, je dvoj- či trojrozmerná euklidovská geometria. Už od Riemanna (polovica 19. storočia) sa ale študuje geometria n-rozmerných zakrivených priestorov (v nich platí euklidovská geometria iba limitne na malých kúskoch) a dnes je ešte oveľa bohatšia.
Ale prečo to potrebujem? Keď kreslím na tabuľu, stačia mi dva rozmery, žijeme v troch či štyroch. Načo mi ich bude viac?
Je naozaj veľa situácii, ktoré potrebujú iný počet ako dva, tri či štyri rozmery. Predstavte si, že chcem opísať pohyb jedného bodu. Na to potrebujem nejaké tri čísla ako funkcie času. Keď chcem opísať dva hmotné body, tak potrebujem za prvý tri čísla a za druhý tiež tri čísla. Lenže ja si to môžem zjednodušiť – a niekto povie, že som si to skomplikoval - že tie druhé tri čísla naukladám za tie prvé tri a zrazu mám šesticu čísiel. A mám bod v šesťrozmernom priestore. Mám dve možnosti, ako o tom pohybe hovoriť. Buď že sa jeden bod pohybuje v šesťrozmernom abstraktnom priestore, alebo že sa dva body pohybujú v trojrozmernom obyčajnom.
Prečo to robíme?
Keď chcem opísať päť hmotných bodov, je jednoduchšie opísať to ako jeden bod v pätnásťrozmernom priestore.
Toto je jednoduchšie?
Áno, konceptuálne, ale aj naozaj prakticky. K tomu totiž spravidla pristupujú komplikácie zvané väzby. Sú to isté vzťahy medzi bodmi. Tie efektívne jednak znižujú rozmer výsledného priestoru (z tých pätnástich na povedzme sedem), jednak ho ale zakrivujú. Namiesto zložitého pohybu piatich viazaných bodov mám pohyb jediného bodu v sedemrozmernom zakrivenom priestore. A s jeho opisom sa nesmierne elegantne vysporiadal Lagrange, dokonca vyše pol storočia pred Riemannom.
Čo je takou väzbou?
Povedzme nejaké fixné vzdialenosti medzi bodmi. Ak napríklad opisujem pohyb paličky dĺžky L, môžem opisovať pohyb dvoch bodov (jej koncov), ktoré sú od seba neustále vzdialené o L. To dáva väzbu na pohyb tých dvoch bodov.
Sedliacky rozum
A tento proces dobre opisuje javy v bežnom svete?
Áno, je to mimoriadne praktický formalizmus pre úplne obyčajnú mechaniku. Učím to druhákov fyzikov na teoretickej mechanike. Aj keď tých „viac“ rozmerov by asi vyvolávalo v laickej verejnosti problémy.
Skôr paniku.
Áno. Veď my predsa žijeme v troch, horko-ťažko v štyroch rozmeroch, načo mi je sedem, veď to si ani neviem predstaviť. Lenže matematika si veľa vecí nevie a ani nepotrebuje vedieť predstaviť v takomto zmysle, ako si to ľudia chcú predstaviť. Stačí uviesť z histórie príklad objavenia sa komplexných čísel. Tie dlho strašili dokonca aj (inak odvážnych) matematikov, nie len laikov. Realita si tieto čísla vynútila (ako riešenia istých rovníc) a pritom si ich matematici nevedeli predstaviť v takom zmysle, v akom si mysleli, že si vedia predstaviť reálne čísla. Pritom, priznajme si, aj reálne čísla sú poriadna abstrakcia.
Náš sedliacky rozum však podobným veciam rozumie iba ťažko. Keďže tieto modely dávajú dobré predpovede a výsledky, znamená to, že náš zdravý rozum je zlý?
To je veľmi dôležitá otázka. Nie, sedliacky rozum je dokonalý. Vznikol evolúciou a prispôsobil sa tomu svetu, v ktorom žijeme. Máme úžasnú predstavivosť v dvoch a troch rozmeroch – sme potomkami tých, čo ju mali lepšiu ako ostatní. Nevyvinuli sme si ale (evolučne zbytočnú) intuíciu na priestory, v ktorých sme sa nepotrebovali orientovať. To je ten istý druh problému, aký máme s kvantovou mechanikou. Tam nemáme intuíciu na svet mikroobjektov.
My jednoducho žijeme vo svete, kde majú veci isté rozmery, zvykli sme si naň, chodíme a (keď sme triezvi) nenarazíme do steny. Naši predkovia však nežili vo svete veľkosti atómu a nezažívali denne kvantové pocity. Ani tam preto intuíciu nemáme. Podobne, ako nemáme intuíciu pre svet veľkých rýchlostí (porovnateľných s rýchlosťou svetla), čo nám komplikuje intuitívne prijatie efektov špeciálnej teórie relativity. Aj keď sú naozajstné, náš zdravý rozum sa zdráha ich ako naozajstné prijať.
Čo s tým?
Ľudia si môžu (do istej miery) vypracovať novú intuíciu tam, kde ju doteraz nemajú. Keď budete dlho pracovať so štvoricami čísel, t.j. vo štvorrozmernom priestore, tak sa naučíte, že niektoré veci, ktoré sa nedajú urobiť v troch rozmeroch, sa už v štyroch môžu dať. Ak to budete robiť naozaj dlho, tak v princípe už niektoré veci nebudete musieť ani počítať, pretože si to budete vedieť nejako predstaviť.
Ja ťažké zbaviť sa tej našej prirodzenej intuície?
Každý, kto prišiel do kontaktu s viacrozmernou matematikou, musel zažiť ten prerod. Tak, ako musia byť všetci študenti na svete frustrovaní z fungovania čudnej kvantovej mechaniky, tak sa zrejme nejaký čas boja aj päťrozmerného priestoru. Ale pravdupovediac, mne to už nehovoria, neučím prvákov a z toho sa normálne vyrastie celkom rýchlo. Myslím si, že šok z kvantovej mechaniky je oveľa väčší a pretrváva dlhšie, ako šok z n-rozmerných priestorov.
Aké konkrétne veci sa týmto aparátom riešia?
Aj celkom prízemné veci. Napríklad pohyb kyvadiel. Poskladáme si niekoľko paličiek, pružiniek a guličiek, rozkýveme to a máme sústavu, ktorá je už matematicky dosť zložitá a jej pohyb opisujeme ako pohyb bodu vo viacrozmernom riemannovskom (zakrivenom) priestore. A nemáme z toho strach, pretože sa predsa bavíme o paličkách, pružinkách a guličkách.
Kyvadlo je relatívne jednoduchý prípad. Aký je ten zložitý?
Napríklad aj taká veľká veda, ako sú 10 či 26 rozmerné priestory, v ktorých sa hýbu struny. Tá je bez modernej diferenciálnej geometrie prakticky nemysliteľná. (Pri superstrunách potrebujeme dokonca čosi, čo sa volá antikomutujúce súradnice, čo by asi vyrazilo dych aj Riemannovi. Hoci to stojí na myšlienkách jeho rovesníka Grassmanna.) Čo sa ale týka tých kyvadiel, je to síce jednoducho predstaviteľná fyzikálna sústava, ale explicitné riešenie ich pohybových rovníc až také triviálne nie je.
Čiže neplatí, že kyvadlo je jednoduché a čierne diery sú zložité?
Nemusí to platiť. Ale slávne Einsteinove rovnice pre gravitačné pole, ktorých riešením sa prišlo na čierne diery, sú sústavou veľmi zložitých parciálnych diferenciálnych rovníc.
Hovorí sa, že sám Einstein ich nevedel vyrátať.
Prinajmenšom to nestihol, niekto iný to stihol skôr. Ale on ani veľmi nerátal s tým, že niekto v rozumnom čase nájde ich riešenie, tobôž nie tak rýchlo a tak jednoducho. Ale prišiel (teoretický fyzik) Schwarzschild a použil celkom jednoduchú myšlienku, dá sa povedať, že ako vyšitú z diferenciálnej geometrie. Uvedomil si jednu vec – že bude rozumnejšie nehľadať najvšeobecnejšie riešenie, ale že postačí riešenie najzaujímavejšie.
Prosím?
Typická črta diferenciálnych rovníc je, že majú veľa riešení (potenciálne opisujú veľa situácií). V praxi (napríklad vo fyzike) ale nie sú všetky zaujímavé, preto sa veľmi často nehľadá najvšeobecnejšie riešenie, ale istým spôsobom fyzikálne zaujímavé riešenie.
Čo považoval za zaujímavé tu?
Bola to sférická symetria gravitačného poľa. Uvažoval takto: Ak je hmotou, ktorá budí gravitačné pole hviezda (napríklad Slnko), má tvar gule a guľa je guľatá (na túto vedomosť nepotrebuje byť človek ani Schwarzschild), čiže sféricky symetrická (keď ju hocijako otáčame, je stále rovnaká).
Ak teda okolo seba vygeneruje gravitačné pole, aj to by malo mať symetriu ako tá guľa (čiže byť sféricky symetrické). Bolo by jednoducho čudné, keby guľatá príčina vytvorila neguľatý dôsledok. Čiže on dokázal napísať výraz pre najvšeobecnejšie guľaté gravitačné pole (čo nie je celkom triviálne, najmä nie pre prvolezca). Toto dosadil do Einsteinových rovníc a na svoje príjemné prekvapenie zistil, že na doriešenie mu zostala už len úplne ľahká úloha. Tú potom už hravo dotiahol do víťazného konca. (Prekvapený bol aj Einstein, ktorý to ako recenzent článku v posudku explicitne spomenul.) Toto je veľmi úspešná metóda na hľadanie zaujímavých riešení ťažkých diferenciálnych rovníc.
Potreboval teda na to vedieť napísať všeobecné sféricky symetrické gravitačné pole. To pole je opisované veličinou zvanou metrický tenzor a to je pojem z diferenciálnej geometrie. Schwarzschild bol však človek veľmi erudovaný nielen vo fyzike a astronómii, ale aj v matematike. Takže to preňho nebol problém.
To hovoríme o zaujímavých, vyhovujúcich riešeniach. No ľudia zrejme budú zápasiť aj s predstavou, že rovnice nemajú jedno správne riešenie.
Ak máte diferenciálnu rovnicu, neznámou nie je číslo, ako to je v algebraických rovniciach, ale funkcia. A tá je v nej derivovaná. Diferenciálne rovnice vymyslel Newton a je to jeden z najväčších výdobytkov európskej civilizácie. Newton vymyslel celý diferenciálny a integrálny počet, ktorým kvantitatívne uchopil pojem zmena. A to je naozaj niečo veľkolepé, veď zmeny sú všade, kam sa len pozrieme.
Neurazme Leibniza.
Áno, máte pravdu, Leibniz bol druhý (nezávislý) objaviteľ derivácií a integrálov. Newton a Leibniz spôsobili veľký pokrok v matematike tým, že nás naučili, ako sa so zmenami pracuje. Diferenciálne rovnice dávajú do súvisu veci, ktoré sa môžu meniť. Mávajú spravidla (nekonečne) veľa riešení a treba si z nich vybrať tie, ktoré sa nám hodia.
Predstavme si jednoduchý príklad zo stavebníctva. Máme zimný štadión s nejakou elegantne poohýbanou strechou. Tá strecha je dvojrozmerná plocha a jej tvar sa dá opísať funkciou (vyjadrujúcou výšku strechy nad jednotlivými bodmi ľadovej plochy), ktorá vyhovuje istej diferenciálnej rovnici (tá rovnica charakterizuje fakt, aká je krivosť v jednotlivých bodoch plochy). Lenže takých plôch je nekonečne veľa - strecha dvihnutá ako celok o nejakú výšku nahor má rovnakú krivosť, akú mala tá pôvodná.
Z nekonečného množstva riešení si vyberieme to, ktoré nám vyhovuje. Zodpovedá tej streche, ktoré presne sadne na bočné múry, ktoré sme postavili. Riešenie, pri ktorom je strecha kilometer nad múrmi, nás asi neuspokojí. Schwarzschild riešil iné, Einsteinove diferenciálne rovnice a tie majú tiež veľa riešení. Aj pri nich si musím povedať, ktoré sú tie vlastnosti, ktoré od riešenia chcem okrem splnenia rovnice. Zvolil ako zaujímavu črtu riešenia niečo úplne iné; ako som už spomínal, bola to jeho sférická symetria.
Šesť rokov písania
Čo musí spĺňať dobrá učebnica diferenciálnej geometrie?
Každý autor má o tom svoju predstavu. Moja je, že sa to z nej v prvom rade dá naučiť. Zdá sa to triviálna požiadavka, ale nie je. Jestvuje mnoho učebníc, z ktorých sa predmet nenaučíte.
Prečo?
Učebnice sa píšu napríklad s cieľom získať niekde čiarku. Alebo ohúriť kolegov. Vtedy nie je záujem naučiť. Keď je motiváciou toto, niekde sa to asi premietne. Iný prípad je, že autor by aj chcel, ale nemá na to talent. Ono je tu vlastne celkom výhoda, keď to človeku síce myslí dobre, ale nie príliš rýchlo – čo je môj prípad.
Nemyslí rýchlo?
Keď to človeku nemyslí veľmi brilantne, tak sa trochu aj potrápi. Keď sa potrápi, vie, na čom sa potrápil. A keď potom píše učebnicu, tak to vysvetlí tak, aby sa druhý už netrápil. Aby nepohorel na tom istom. Ďalej, ľudia, ktorí rozmýšľajú podobne ako autor, majú väčšiu šancu to z knihy pochopiť. Niektorí myslia inak, pre nich tá kniha nebude ideálna. A napokon, moja predstava obsahuje aj istú dávku zábavnosti. Tak som tam vpašoval aj to. Čo nie je v tomto žánri bežné.
Ako sa učebnica od nás dostane do Cambridge?
Ja som ju zámerne napísal v slovenčine, pretože som vedel, že tu taká učebnica chýba. A že to je pri takej dôležitej téme škoda. Môj plán bol napísať šesťdesiatstranové skriptá. Lenže keď prišlo na šesťdesiat strán, zistil som, že som stále len kdesi v prvých kapitolách. Pokračoval som. Narástlo to, ale stále som bol v tom, že píšem lokálny text.
A čo sa stalo?
Išiel som na oddelenie, kde sa mali skriptá oficiálne robiť. Ale to, ako to tam prebehlo, ma priviedlo k záveru, že to skriptá nebudú.
Prečo?
Mali tam o skriptách svojské a striktné predstavy. A ja som si povedal, že som sa s textom dosť natrápil a mám právo na svoju, inú predstavu. Takže bolo treba nájsť iný spôsob vydania.
A čo sa stalo?
Zavolal som Vladovi Bužekovi, ktorý je zbehlý človek, či nepozná nejaké vydavateľstvá. Niečo poradil, ale zároveň sa spýtal, prečo to nevydám v zahraničí? Ja som nad tým možno aj tak platonicky uvažoval, ale nebral som to dovtedy vážne. Potom áno. Časť textu som poslal ako vzorku do Cambridge.
To ste prekladali vy?
Áno. Oni však nechceli hneď celý text, stačila im časť. To som poslal, prišli štyri recenzné posudky a mal som odpovedať. Tak som odpovedal, s niečím som súhlasil, s niečím nie a zdôvodnil to. Nakoniec rozhodli, že áno. Ale nechali si rezervu, že podpíšeme zmluvu, ale ešte to na konci posúdi piaty človek. Pustil som sa do prekladu, trvalo mi to trištvrte roka, bolo s tým dosť roboty (je to vyše 700 strán). Ale naučil som sa na tom aspoň ešte lepšie angličtinu. Piaty recenzent napísal, že sa mu to páči a vyšlo to.
Zmenilo sa pre vás niečo?
Ani príliš nie. Uvedomujem si, že v Cambridge vychádza veľa kníh. Napokon, ja ani tu nie som jediný, kto vydal knihu v dobrom vydavateľstve v zahraničí. Ale samozrejme je to isté zadosťučinenie, že päťročná práca priniesla ovocie v podobe uznania renomovaného svetového vydavateľstva, že je pre nich dosť dobrá. Aj väčšina prijatí čitateľmi bola veľmi dobrá. Dostal som viacero mailov zo sveta. Niekto si knihu kúpi, páči sa mu a dá mi to vedieť. To poteší. Samozrejme, sú ľudia, ktorí inak rozmýšľajú a tí potrebujú inak napísanú knihu. Všetkým sa vyhovieť nedá.
Plánujete ďalšiu?
Nie, prinajmenšom v dohľadnom čase nie. Päť rokov písania a ďalší rok prekladania vezme človeku veľmi veľa energie. V skutočnosti sa však tá kniha začala tak, že som mal pocit, že viaznem vo vede – tak sa vraj často začínajú písať knihy. Nezabíjať čas a kým príde nápad skúsiť niečo spísať. Z toho, čo sa na človeka z tej vedy nalepilo. Lenže keď to trvá dlho, vypadnete z vlaku. Keď niekam vložíte šesť rokov, nie je triviálne do toho vlaku potom znovu naskočiť, tie vlaky idú rýchlo. Napriek tomu to dnes vnímam tak, že to za ten čas stálo.
